Calcule as áreas das regiões limitadas pelas funções
y+x^2=6, y+2 x-3=0 de x=-1 até x=3

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que as curvas
y + x^2 = 6
e
y + 2x - 3 = 0
se interceptam no intervalo de x=-1 até x=3.
O conteúdo principal aqui é área entre duas curvas, que se resolve integrando a diferença da função superior menos a inferior.

Passo 2

Isolamos y em cada equação para escrever as funções explicitamente:
y = 6 - x^2
y = -2x + 3

Passo 3

Determinamos os pontos de interseção resolvendo
6 - x^2 = -2x + 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x-3)(x+1)=0
Logo, x=-1 e x=3, que coincidem com os limites dados.

Passo 4

Para saber qual função está por cima em [-1,3], avaliamos num ponto intermediário, por exemplo x=1:
6 - 1^2 = 5, -2cdot1 + 3 = 1
Assim, y = 6 - x^2 é a curva superior e y = -2x + 3 é a curva inferior no intervalo.

Passo 5

A área A é dada por
A = integral-1^3 l[(6 - x^2) - (-2x + 3)r],dx = integral-1^3 l(3 + 2x - x^2r),dx

Passo 6

Calculemos a integral. Uma primitiva de 3 + 2x - x^2 é
F(x) = 3x + x^2 - x^33
Portanto,
A = F(3) - F(-1)

Passo 7

Avaliação nos limites:
F(3) = 3cdot3 + 3^2 - 3^33 = 9 + 9 - 9 = 9
F(-1) = 3cdot(-1) + (-1)^2 - (-1)^33 = -3 + 1 - l(-tfrac13r) = -2 + tfrac13 = -tfrac53
A = 9 -l(-tfrac53r) = 9 + tfrac53 = tfrac273 + tfrac53 = tfrac323

Resposta

A área da região é tfrac323.

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