Calcule as áreas entre as seguintes curvas.
x+y=3 e y+x^2=3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y + x = 3
e
y + x^2 = 3
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas via integração: primeiro achamos as interseções, depois determinamos qual função é a “superior” e integramos a diferença.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
3 - x = 3 - x^2
que dá
-x = -x^2 Longrightarrow x^2 - x = 0 Longrightarrow x(x - 1) = 0,
logo x = 0 ou x = 1. Os pontos são (0,3) e (1,2).

Passo 3

Para decidir qual curva está por cima em [0,1], comparamos
yparábola = 3 - x^2 e yreta = 3 - x á
Como x^2<= x em [0,1], temos 3 - x^2>= 3 - x. Portanto a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 4

A área fica
Área = integral0^1l[(3 - x^2) - (3 - x)r],dx = integral0^1(x - x^2),dx Á

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^1(x - x^2),dx = [x^22 - x^33]0^1 = 12 - 13 = 16

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 16.

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