Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
l x ux+y uy=0, x^2+y^2<4 u(2 sen t, 2 cos t)=t sen t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado nos dá o PDE de primeira ordem
x,ux + y,uy = 0,
definido no disco (x,y)mid x^2+y^2<4, e a condição
ul(2sin t,,2cos tr)=tsin t, 0<= t<=2pi
O conteúdo aqui é teoria de problemas de Cauchy para PDEs de primeira ordem: devemos verificar se a curva onde se impõe o dado é característica ou não, e então classificar o problema (Cauchy, de contorno ou misto).

Passo 2

Escrevemos as equações das curvas características associadas a
x,ux + y,uy = 0
Elas satisfazem o sistema
dxds=x, dyds=y, duds=0
Da primeira e segunda equação segue
dydx=yxLongrightarrow y=C,x,
ou seja, as características são retas que passam pela origem (raios).

Passo 3

A curva onde os valores de u são dados é
gamma(t) = l(2sin t,,2cos tr)
Seu vetor tangente é
gamma'(t)=l(2cos t,,-2sin tr)
O vetor campo característico em gamma(t) é l(x,yr)=(2sin t,2cos t). Calculamos o produto interno
l(2sin t,2cos tr)cdotl(2cos t,-2sin tr) =4sin tcos t-4sin tcos t=0
Como o vetor tangente da curva é ortogonal ao vetor característico, a curva não é característica.

Passo 4

Dado que a curva gamma(t) é não caracterísica e o valor de u está completamente especificado ao longo dela para 0<= t<=2pi, trata-se de um problema de Cauchy (também chamado de problema de valor inicial) para PDE de primeira ordem.
Não há porção de domínio onde falte condição, nem sobra condição extra em fronteira, logo não é um problema de contorno clássico nem misto.
Como os dados foram dados em curva não característica e não há outra condição sobre u, não é necessária nenhuma condição de compatibilidade adicional.

Resposta

Este é um problema de Cauchy (valor inicial) em curva fechada não característica, e não há necessidade de impor condição de compatibilidade.

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