Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
l x ux-y uy=x^2+y^2 em R^2 u(t^3, t^5)=t^2+1, t in R

Passo 1

O enunciado apresenta a EDP de primeira ordem
x,ux - y,uy = x^2 + y^2
em R^2, com a condição prescrita ao longo da curva parametrizada por
x(t)=t^3, y(t)=t^5,
isto é
ul(t^3,t^5r)=t^2+1, tinR
O conteúdo é teoria de problemas de Cauchy para equações de primeira ordem; vamos precisar reconhecer o tipo de problema e checar se a curva é não-característica e se há necessidade de compatibilidade.

Passo 2

Identificamos a condição inicial:
ul(x(t),y(t)r)=g(t), g(t)=t^2+1,
dada ao longo da curva gamma: (t^3,t^5). Não há nenhuma condição imposta sobre fronteiras do domínio, apenas essa “inicial” em uma curva.

Passo 3

Classificação: como a condição está em uma curva no domínio e a EDP é de primeira ordem, trata-se de um problema de Cauchy. Não é problema de contorno (não há condições em toda fronteira) nem misto.

Passo 4

Verificamos se a curva é não-característica. As características da EDP satisfazem
dxds=x, dyds=-y,
logo a direção característica em (x,y) é (x,-y). A tangente à curva gamma é (3t^2,5t^4). Essas duas direções não são proporcionais para tneq0, logo a curva é não-característica exceto no ponto degenerado t=0.

Passo 5

Compatibilidade: no ponto t=0 a tangente de gamma se anula, mas a EDP avaliada em (0,0)
0cdot ux(0,0)-0cdot uy(0,0)=0,
o que é satisfatório. Portanto não há exigência extra de compatibilidade.

Resposta

Trata-se de um problema de Cauchy com condição inicial
ul(t^3,t^5r)=t^2+1,
a curva é não-característica (exceto em t=0) e não é necessário impor condições de compatibilidade adicionais.

Exercícios relacionados