Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDP de primeira ordem
em
, com a condição prescrita ao longo da curva parametrizada por
isto é
O conteúdo é teoria de problemas de Cauchy para equações de primeira ordem; vamos precisar reconhecer o tipo de problema e checar se a curva é não-característica e se há necessidade de compatibilidade.
Passo 2
Identificamos a condição inicial:
dada ao longo da curva
. Não há nenhuma condição imposta sobre fronteiras do domínio, apenas essa “inicial” em uma curva.
Passo 3
Classificação: como a condição está em uma curva no domínio e a EDP é de primeira ordem, trata-se de um problema de Cauchy. Não é problema de contorno (não há condições em toda fronteira) nem misto.
Passo 4
Verificamos se a curva é não-característica. As características da EDP satisfazem
logo a direção característica em
é
. A tangente à curva
é
. Essas duas direções não são proporcionais para
, logo a curva é não-característica exceto no ponto degenerado
.
Passo 5
Compatibilidade: no ponto
a tangente de
se anula, mas a EDP avaliada em
dá
o que é satisfatório. Portanto não há exigência extra de compatibilidade.
Resposta
Trata-se de um problema de Cauchy com condição inicial
a curva é não-característica (exceto em
) e não é necessário impor condições de compatibilidade adicionais.