Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDP de segunda ordem em t e x
com as condições iniciais
O conteúdo é resolução de EDPs hiperbólicas e precisamos identificar o tipo de problema e se há compatibilidade entre f e g.
Passo 2
Notamos que foram dadas duas condições em t=0: valor de u e valor de u_t. Como a EDP é de segunda ordem em t, essas duas condições formam um problema de Cauchy (inicial) ao longo da linha t=0.
Passo 3
Para garantir que a EDP seja satisfeita no instante t=0, basta inserir t=0 na equação. Os termos com fator t ou t^2 se anulam, sobrando
Como u_x(x,0)=f’(x) e u_{xt}(x,0)=g’(x), obtemos a condição de compatibilidade
que deve ser satisfeita por f e g para que o problema seja bem posto.
Resposta
Trata-se de um problema de Cauchy (inicial) com condições u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x). As funções f e g devem satisfazer a condição de compatibilidade