Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
l t ux x+2 x ux t-t ui t+x^2 ux+t^2 ut=e^x cos t, t>0, u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x), x in R

Passo 1

O enunciado apresenta a EDP de segunda ordem em t e x
t,uxx+2x,uxt-t,utt+x^2,ux+t^2,ut=e^xcos t, , t>0
com as condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x), xinR
O conteúdo é resolução de EDPs hiperbólicas e precisamos identificar o tipo de problema e se há compatibilidade entre f e g.

Passo 2

Notamos que foram dadas duas condições em t=0: valor de u e valor de u_t. Como a EDP é de segunda ordem em t, essas duas condições formam um problema de Cauchy (inicial) ao longo da linha t=0.

Passo 3

Para garantir que a EDP seja satisfeita no instante t=0, basta inserir t=0 na equação. Os termos com fator t ou t^2 se anulam, sobrando
2x,uxt(x,0)+x^2,ux(x,0)=e^xcos0=e^x
Como u_x(x,0)=f’(x) e u_{xt}(x,0)=g’(x), obtemos a condição de compatibilidade
2x,g'(x)+x^2,f'(x)=e^x,
que deve ser satisfeita por f e g para que o problema seja bem posto.

Resposta

Trata-se de um problema de Cauchy (inicial) com condições u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x). As funções f e g devem satisfazer a condição de compatibilidade
2x,g'(x)+x^2,f'(x)=e^x

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