Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
d yd t+a y=g(t), a neq 0, g(t) neq 0, y(t)=e^-a t integralt0^t e^a s g(s) d s+C e^-a t, C constante;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y(t)=e^-a tintegralt0^te^a sg(s),ds + C,e^-a t
satisfaz a equação diferencial linear de primeira ordem
dydt + a,y = g(t),
onde aneq0 e g(t)neq0. Para isso, vamos calcular dydt e mostrar que dydt+a,y é exatamente g(t).

Passo 2

Calcular o derivado de
y(t)=e^-a tunderbraceintegralt0^te^a sg(s),dsI(t) + C,e^-a t
Usamos a regra do produto para o primeiro termo e a regra da cadeia:
ddtl(e^-a tI(t)r) = e^-a t,I'(t) + l(e^-a tr)',I(t) = e^-a tl(e^a tg(t)r) + (-a,e^-a t)integralt0^te^a sg(s),ds
Como I'(t)=e^a tg(t), fica
ddtl(e^-a tI(t)r) = g(t) - a,e^-a tintegralt0^te^a sg(s),ds
Para o segundo termo,
ddtl(C,e^-a tr) = -a,C,e^-a t
Logo,
dydt = g(t) - a,e^-a tintegralt0^te^a sg(s),ds - a,C,e^-a t

Passo 3

Agora somamos a,y. Como
y = e^-a tintegralt0^te^a sg(s),ds + C,e^-a t,
temos
a,y = a,e^-a tintegralt0^te^a sg(s),ds + a,C,e^-a t
Somando com dydt:
dydt + a,y = l[g(t) - a,e^-a t!!integralt0^te^a sg(s),ds - a,C,e^-a tr] + l[a,e^-a t!!integralt0^te^a sg(s),ds + a,C,e^-a tr]
Os termos envolvendo a integral e C se cancelam, sobrando
dydt + a,y = g(t)

Resposta

A função dada satisfaz dydt+a,y=g(t), logo é solução da equação diferencial.

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