Calcule as áreas das seguintes regiões planas.
Região limitada por f(x)= \begin{cases}\sin 2 x, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\\\ 1+\cos x, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pela curva
f(x)= \begin{cases} \sin 2x, & 0 \le x \le \tfrac{\pi}{2},\\\\ 1+\cos x, & \tfrac{\pi}{2}\le x\le \pi \end{cases}
e pelo eixo x, ou seja, calcular
\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx
usando integração de funções por partes definidas (aqui, por trechos).

Passo 2

Para o trecho 0\le x\le \tfrac{\pi}{2}, temos a área
A_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \, dx.
Como uma primitiva de \sin 2x é -\tfrac12\cos 2x,
A_1 = \Bigl[-\tfrac12\cos 2x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \Bigl(-\tfrac12\cos \pi\Bigr)-\Bigl(-\tfrac12\cos 0\Bigr) = \tfrac12 + \tfrac12 = 1.

Passo 3

Para o trecho \tfrac{\pi}{2}\le x\le \pi, a área é
A_2 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \bigl(1+\cos x\bigr)\,dx.
Uma primitiva de 1+\cos x é x+\sin x, logo
A_2 = \Bigl[x+\sin x\Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \bigl(\pi + 0\bigr) - \bigl(\tfrac{\pi}{2} + 1\bigr) = \tfrac{\pi}{2} - 1.

Passo 4

A área total sob f em [0,\pi] é
A = A_1 + A_2 = 1 + \Bigl(\tfrac{\pi}{2} - 1\Bigr) = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

Exercícios relacionados