Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens e, f e g, determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados.
y^{2}=16 x e y=4 x em torno do eixo dos y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo dos y a região limitada pelas curvas
y^2 = 16x
e
y = 4x.
O conteúdo envolve sólidos de revolução e podemos usar o método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de revolução).

Passo 2

Determine os pontos de interseção das curvas resolvendo
y^2 = 16x \quad\text{e}\quad y = 4x.
Substituindo x = \tfrac{y}{4} em y^2 = 16x vem
y^2 = 16\cdot\tfrac{y}{4} \;\Longrightarrow\; y^2 = 4y \;\Longrightarrow\; y(y-4)=0 \;\Longrightarrow\; y=0\text{ ou }y=4.
Logo, a região vai de y=0 a y=4.

Passo 3

Para cada y\in[0,4], a região em x fica entre
x_{\text{int}}=\frac{y^2}{16} \quad\text{e}\quad x_{\text{ext}}=\frac{y}{4}.
Ao girar em torno de y, o raio externo do disco é
R(y)=x_{\text{ext}}=\frac{y}{4},
e o interno é
r(y)=x_{\text{int}}=\frac{y^2}{16}.
A área da seção transversal é
A(y)=\pi\bigl(R(y)^2-r(y)^2\bigr) =\pi\Bigl(\frac{y^2}{16}-\frac{y^4}{256}\Bigr).

Passo 4

O volume é
V=\int_{0}^{4}A(y)\,dy =\pi\int_{0}^{4}\Bigl(\frac{y^2}{16}-\frac{y^4}{256}\Bigr)dy.
Calculemos:
\begin{aligned} V &=\pi\Bigl[\frac{y^3}{48}-\frac{y^5}{1280}\Bigr]_{0}^{4} =\pi\Bigl(\frac{4^3}{48}-\frac{4^5}{1280}\Bigr)\\\ &=\pi\Bigl(\frac{64}{48}-\frac{1024}{1280}\Bigr) =\pi\Bigl(\frac{4}{3}-\frac{4}{5}\Bigr) =\frac{8\pi}{15}. \end{aligned}

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{15}

Exercícios relacionados