Calcule as áreas das seguintes regiões planas.
x^{2}+y^{2}=r^{2}, y \geq 0,

Passo 1

O enunciado pede a área da região semicircular de raio r, ou seja \{(x,y)\mid x^2+y^2\le r^2,\;y\ge0\}. Vamos usar integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, cada ponto é dado por \rho\ge0, \theta\in[0,\pi] e o elemento de área vale \rho\,d\rho\,d\theta. Logo
A=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{r}\rho\,d\rho\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em \rho:
\int_{0}^{r}\rho\,d\rho =\left.\frac{\rho^2}{2}\right|_{0}^{r} =\frac{r^2}{2}.
Substituindo em A:
A =\int_{0}^{\pi}\frac{r^2}{2}\,d\theta =\frac{r^2}{2}\int_{0}^{\pi}d\theta =\frac{r^2}{2}\,\pi.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a área da região é \tfrac{\pi r^2}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}

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