Calcule as áreas das seguintes regiões planas.
Região limitada por y=\cos x, pelo eixo x e pelas retas x=-\pi e x=\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y=\cos x, pelo eixo x e pelas retas x=-\pi e x=\pi/2. Para calcular essa área, vamos usar integrais definidas e observar que a função \cos x muda de sinal dentro desse intervalo, de modo que é preciso dividir em subintervalos onde \cos x mantém sinal constante e, então, integrar o valor absoluto \lvert \cos x\rvert.

Passo 2

Encontramos onde \cos x=0 em [-\,\pi,\pi/2]. As raízes próximas são
x=-\tfrac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad x=\tfrac{\pi}{2}.
No intervalo dado, \cos x é negativo em [-\,\pi,\,-\tfrac{\pi}{2}] e é positivo em \bigl[-\,\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Assim, dividimos a área em
A = A_1 + A_2
com
A_1 = \int_{-\pi}^{-\pi/2} \lvert \cos x\rvert\,dx \quad\text{e}\quad A_2 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \lvert \cos x\rvert\,dx.

Passo 3

No trecho [-\,\pi,\,-\tfrac{\pi}{2}], temos \cos x\le0, logo \lvert \cos x\rvert = -\cos x.
A_1 = \int_{-\pi}^{-\pi/2} (-\cos x)\,dx = \bigl[-\sin x\bigr]_{-\pi}^{-\pi/2} = \bigl(-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)-\bigl(-\sin(-\pi)\bigr) = (1)- (0) =1.

Passo 4

No trecho \bigl[-\,\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr], temos \cos x\ge0, logo \lvert \cos x\rvert = \cos x.
A_2 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x\,dx = \bigl[\sin x\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2}) = 1 -(-1) =2.

Passo 5

Somando as duas áreas obtidas:
A = A_1 + A_2 = 1 + 2 = 3.

Resposta

A área da região é 3.

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