Calcule as áreas das seguintes regiões planas.
Região limitada por y=x+1, pelo eixo x e pelas retas x=-2 e x=2,

Passo 1

O enunciado pede a área da região plana delimitada pela reta y = x + 1, pelo eixo x (ou seja, y=0) e pelas retas verticais x=-2 e x=2. Para calcular essa área, vamos usar que a área entre um gráfico y=f(x) e o eixo x de x=a até x=b é
\int_{a}^{b} \bigl|f(x)\bigr|\,dx.

Passo 2

Primeiro, determinamos onde a reta cruza o eixo x. Resolvendo
x+1=0
obtemos
x=-1.
Isso indica que, para x<-1, a reta fica abaixo do eixo x (ou seja, y<0), e para x>-1 ela fica acima y>0.

Passo 3

Vamos então dividir a integral de área em dois pedaços: de -2 a -1, onde y=x+1 é negativa, e de -1 a 2, onde y=x+1 é positiva. Assim,
\text{Área}=\int_{-2}^{-1}\bigl[0-(x+1)\bigr]\,dx\;+\;\int_{-1}^{2}\bigl[(x+1)-0\bigr]\,dx.Á

Passo 4

Cálculo do primeiro integral:
\int_{-2}^{-1}(-x-1)\,dx =\int_{-2}^{-1}\bigl(-x\bigr)\,dx \;+\;\int_{-2}^{-1}(-1)\,dx.
Uma antiderivada de -x-1 é -\tfrac{x^2}{2}-x. Logo,
\int_{-2}^{-1}(-x-1)\,dx =\Bigl[-\tfrac{x^2}{2}-x\Bigr]_{-2}^{-1} =\bigl(-\tfrac{1}{2}+1\bigr)\;-\;( -2+2 ) =\tfrac12-0 =\tfrac12.

Passo 5

Cálculo do segundo integral:
\int_{-1}^{2}(x+1)\,dx.
Uma antiderivada de x+1 é \tfrac{x^2}{2}+x. Assim,
\int_{-1}^{2}(x+1)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}+x\Bigr]_{-1}^{2} =\bigl(2+\!2\bigr)\;-\;\bigl(\tfrac12-1\bigr) =4\;-\;(-\tfrac12) =4+\tfrac12 =\tfrac{9}{2}.

Passo 6

Somando as duas parcelas de área, temos
\text{Área total} =\tfrac12+\tfrac{9}{2} =\tfrac{10}{2} =5.Á

Resposta

A área da região é 5.

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