Calcule as assíntotas das funções abaixo:
f(x)=raiz1+4 x^22 x-1

Passo 1

A questão pede pra gente achar as assíntotas da função
f(x)=raiz1+4x^22x-1
O conteúdo de matéria envolve definição de assíntota vertical (onde a função explode em ±∞) e assíntota horizontal (limite da função quando x→±∞). Vamos usar limites laterais e no infinito pra resolver.

Passo 2

Primeiro, o domínio da função exige que o denominador não zere, ou seja
2x-1neq0Rightarrow xneqtfrac12
Isso indica um possível ponto de assíntota vertical em x=\tfrac12. Pra confirmar, calculamos os limites laterais:
limxto(1/2)^-f(x)=limxto(1/2)^-raiz1+4x^22x-1= raiz1+4(1/2)^20^-=raiz20^-=-infty,
limxto(1/2)^+f(x)=raiz20^+=+infty
Como em ambos os lados a função vai a infinito, x=\tfrac12 é mesmo assíntota vertical.

Passo 3

Agora, para ver assíntotas horizontais, estudamos os limites de f(x) quando x→±∞. A gente pode dividir numerador e denominador por |x| ou por x, veja uma forma simples dividindo por x: para x>0,
f(x)=raiz1+4x^22x-1= racraiz1x^2+42-1x
Quando x→+∞, temos:
1x^2to0,1xto0Rightarrow f(x)toraiz42=22=1
Logo y=1 é assíntota horizontal para x→+∞. Para x→-∞, note que raiz1+4x^2=2|x|=-2x (pois x é negativo) e 2x-1≈2x, então
f(x)approx-2x2x=-1
Isso mostra que y=-1 é assíntota horizontal quando x→-∞.

Resposta

As assíntotas são: x=\tfrac12 (vertical), y=1 e y=-1 (horizontais).

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