Identifique x0 e cn e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
sumn=1^infty (-1)^n x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede para escrever a série sumn=1^infty (-1)^n x^2n-1(2n-1)! na forma de uma série de potências sumn=0^infty cn(x-x0)^n, e depois achar o centro x0, os coeficientes cn, o raio de convergência R e o intervalo de convergência.

Passo 2

Para identificar o centro x0, basta observar que todos os termos estão em potências de x sem desvio: isto é, a série está em função de x-0. Logo,

Passo 3

O próximo passo é determinar os coeficientes cn comparando o expoente de x em cada termo com o índice geral da série: somente aparecem potências ímpares x^2n-1. Portanto, para n>=1:

Passo 4

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz (ou o teste da razão) aos coeficientes não nulos. Como surgem fatoriais no denominador, cresce mais rápido que qualquer exponencial, levando a raio infinito. Consequentemente, o intervalo é todo o eixo real.

Resposta

x0 = 0,
cn = (-1)^k(2k-1)!, & n = 2k-1,[6pt]0,& n par,
Raio de convergência: R = infty.
Intervalo de convergência: (-infty,,infty).

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