Identifique
e
e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a série
na forma de uma série de potências
, e depois achar o centro
, os coeficientes
, o raio de convergência
e o intervalo de convergência.
Passo 2
Para identificar o centro
, basta observar que todos os termos estão em potências de
sem desvio: isto é, a série está em função de
. Logo,
Passo 3
O próximo passo é determinar os coeficientes
comparando o expoente de
em cada termo com o índice geral da série: somente aparecem potências ímpares
. Portanto, para
:
Passo 4
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz (ou o teste da razão) aos coeficientes não nulos. Como surgem fatoriais no denominador, cresce mais rápido que qualquer exponencial, levando a raio infinito. Consequentemente, o intervalo é todo o eixo real.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: