Nos itens abaixo determine a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada.
f(x, y, z)=x y^3 z^2, P=(2,-1,4), u=(1,2,-3)

Passo 1

O exercício pede a derivada direcional de f(x,y,z)=x y^3 z^2 no ponto P=(2,-1,4) na direção do vetor vec u=(1,2,-3). O tema é derivada direcional, que envolve calcular o gradiente de f e projetá-lo no vetor unitário hat u.

Passo 2

Derivamos parcialmente para obter o gradiente de f. Usando regras de derivada:
partial fpartial x = y^3 z^2, partial fpartial y = 3xy^2 z^2, partial fpartial z = 2x y^3 z

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(2,-1,4). Substituindo x=2, y=-1, z=4 nas fórmulas:
nabla f(P) = (y^3 z^2,;3xy^2 z^2,;2x y^3 z)vertP = (-16,;96,;-16)

Passo 4

Calculamos o vetor unitário correspondente a vec u=(1,2,-3). O módulo é |vec u|=raiz1^2+2^2+(-3)^2=raiz14. Logo:
hat u = 1raiz14(1,2,-3)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar de nabla f(P) por hat u:
Dvec uf(P) = nabla f(P) cdot hat u = (-16,96,-16)cdot1raiz14(1,2,-3)
Realizando o cálculo:
-16 + 192 + 48raiz14 = 224raiz14 = 16raiz14

Resposta

16raiz14

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