Calcule as assíntotas das funções abaixo:
f(x)=raizx^2+2 x

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar as assíntotas da função f(x)=raizx^2+2x. O conteúdo é estudo de assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas) e vamos precisar conhecer domínio da função e limites em xtopminfty e nos extremos do domínio.

Passo 2

Primeiro, achamos o domínio impondo x^2+2x>=0. Isso dá x(x+2)>=0, logo xin(-infty,-2]cup[0,infty). Temos, portanto, duas “ramificações” da função.

Passo 3

Procuramos assíntotas verticais nos pontos de fronteira do domínio, isto é, em x=-2 e x=0. Calculando f(-2)=0 e f(0)=0, ambos finitos, concluímos que não há assíntotas verticais.

Passo 4

Agora buscamos assíntotas oblíquas calculando m=limxtopminftyf(x)x. Para xto+infty temos
m+=limxto+inftyraizx^2+2xx=limxto+inftyraiz1+tfrac2x=1
Em seguida o coeficiente linear é
b+=limxto+inftyl(raizx^2+2x-xr)=1

Passo 5

Isso dá a assíntota y=x+1 no ramo xto+infty.

Passo 6

Para xto-infty repetimos:
m- =limxto-inftyraizx^2+2xx=limxto-infty-raiz1+tfrac2x=-1,
e
b- =limxto-inftyl(raizx^2+2x+xr)=-1

Passo 7

Logo a assíntota no ramo xto-infty é y=-x-1.

Resposta

Não há assíntotas verticais nem horizontais. As assíntotas oblíquas são:\n– Para xto+infty: y = x + 1\n– Para xto-infty: y = -x - 1

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