Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
“lim_{x → 0} (1 – cos(2x^3)) / (1 – cos(x^3))”. O conteúdo principal aqui é limite de função envolvendo expressões trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade 1 – cos(u) = 2 sin²(u/2) ou a expansão para pequenos argumentos.
“lim_{x → 0} (1 – cos(2x^3)) / (1 – cos(x^3))”. O conteúdo principal aqui é limite de função envolvendo expressões trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade 1 – cos(u) = 2 sin²(u/2) ou a expansão para pequenos argumentos.
Passo 2
Para simplificar a expressão, aplicamos a identidade trigonométrica. Para qualquer u, valem:
Assim, definindo u = 2x^3 no numerador e v = x^3 no denominador, temos:
Passo 3
No numerador:
No denominador:
Podemos então escrever o quociente como:
Passo 4
Cancelando o fator 2 em cima e embaixo e rearranjando, ficamos com:
Passo 5
Para ir mais além, note que sin(2t) = 2 sin(t) cos(t). Aqui, se t = x^3/2, então sin(x^3) = sin(2t) = 2 sin(t) cos(t). Logo:
À medida que x → 0, t = x^3/2 → 0 e cos(t) → 1. Portanto o limite vale 4.
Resposta
4