Calcule os limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
“lim_{x → 0} (1 – cos(2x^3)) / (1 – cos(x^3))”. O conteúdo principal aqui é limite de função envolvendo expressões trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade 1 – cos(u) = 2 sin²(u/2) ou a expansão para pequenos argumentos.

Passo 2

Para simplificar a expressão, aplicamos a identidade trigonométrica. Para qualquer u, valem:
1 - cos(u) = 2sin^2l(tfracu2r)
Assim, definindo u = 2x^3 no numerador e v = x^3 no denominador, temos:

Passo 3

No numerador:
1 - cos(2x^3) = 2sin^2l(x^3r)
No denominador:
1 - cos(x^3) = 2sin^2l(tfracx^32r)
Podemos então escrever o quociente como:

Passo 4

Cancelando o fator 2 em cima e embaixo e rearranjando, ficamos com:
1 - cos(2x^3)1 - cos(x^3) = sin^2(x^3)sin^2l(tfracx^32r)

Passo 5

Para ir mais além, note que sin(2t) = 2 sin(t) cos(t). Aqui, se t = x^3/2, então sin(x^3) = sin(2t) = 2 sin(t) cos(t). Logo:
sin^2(x^3)sin^2(t) = l(2cos(t)r)^2 = 4cos^2l(tfracx^32r)
À medida que x → 0, t = x^3/2 → 0 e cos(t) → 1. Portanto o limite vale 4.

Resposta

4

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