Calcule os limites:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar limxto1sinl(x^4-1r)x-1. O conteúdo envolvido é cálculo de limites e vamos precisar usar a regra de l’Hôpital ou a aproximação de pequena-ângulo para sin u.
Primeiro, verificamos o tipo de indeterminação. À medida que xto1, temos x^4-1to0, logo sin(x^4-1)tosin0=0, e o denominador x-1to0. Então o limite tem a forma 0/0, que é indeterminada.

Passo 2

Como temos uma indeterminação 0/0, podemos aplicar a regra de l’Hôpital, que diz que
limxto af(x)g(x)=limxto af'(x)g'(x)
desde que esse novo limite exista. Aqui f(x)=sin(x^4-1) e g(x)=x-1. Derivando, calculamos as derivadas:
$$
f’(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x4-1)\bigr]=\cos(x4-1)\cdot4x^3,
$$
f'(x)=ddxl[sin(x^4-1)r]=cos(x^4-1)cdot4x^3,
Agora avaliamos o limite das derivadas em g'(x)=ddx[x-1]=1 :
Substituindo x=1 em x=1 e f'(x) obtemos
g'(x)

Resposta

4

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