As funções J0 e J1 definidas pelas séries:
J1(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+12^2 n+1(n+1)!
são chamadas funções de Bessel do primeiro tipo de ordem zero e um, respectivamente. Determine o domínio de J0 e J1.

Passo 1

O enunciado define as funções de Bessel de primeira espécie de ordem zero e um, J0(x) e J1(x), por séries de potências, e pede para determinar o domínio em que essas séries convergem. Vamos precisar usar o teste da razão para séries de potências e lembrar que o domínio será o intervalo de convergência dessas séries.

Passo 2

Considere primeiro J1(x)=sumn=0^infty(-1)^n,dfracx^2n+12^2n+1(n+1)!. Seja o termo geral an=(-1)^ndfracx^2n+12^2n+1(n+1)!. Aplicando o teste da razão, calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^2(n+1)+12^2(n+1)+1(n+2)!cdot2^2n+1(n+1)!|x|^2n+1
Fazendo as contas, obtemos
limntoinfty|x|^24(n+2)=0
Como esse limite é 0 para todo x real (e até complexo), a série de J1 tem raio de convergência infinito.

Passo 3

A série de J0(x) também é uma série de potências cujos coeficientes envolvem n! e 2^2n, e aplicando análogo teste da razão chega-se ao mesmo resultado: raio de convergência infinito. Logo, ambas as funções são definidas para todo x real (e de fato para todo x complexo).

Resposta

Dom,J0=Dom,J1=R

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