As funções e definidas pelas séries:
são chamadas funções de Bessel do primeiro tipo de ordem zero e um, respectivamente. Determine o domínio de e .
Passo 1
O enunciado define as funções de Bessel de primeira espécie de ordem zero e um, e , por séries de potências, e pede para determinar o domínio em que essas séries convergem. Vamos precisar usar o teste da razão para séries de potências e lembrar que o domínio será o intervalo de convergência dessas séries.
Passo 2
Considere primeiro . Seja o termo geral . Aplicando o teste da razão, calculamos
Fazendo as contas, obtemos
limntoinfty|x|^24(n+2)=0
Como esse limite é 0 para todo x real (e até complexo), a série de J1 tem raio de convergência infinito.
Passo 3
A série de J0(x) também é uma série de potências cujos coeficientes envolvem n! e 2^2n, e aplicando análogo teste da razão chega-se ao mesmo resultado: raio de convergência infinito. Logo, ambas as funções são definidas para todo x real (e de fato para todo x complexo).