Calcule as assíntotas das funções abaixo:
f(x)=x+raizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as assíntotas da função f(x)=x+raizx^2+1. O conteúdo aqui é estudo de assimptotas (horizontal e oblíqua) usando limites e, quando preciso, desenvolvimento assintótico de raízes para xtopminfty.

Passo 2

Para identificar uma assimptota oblíqua y=ax+b quando xtoinfty, usamos as fórmulas
a=limxtoinftyf(x)x, b=limxtoinftyl(f(x)-a xr) Para assimptota horizontal em xto-infty, basta calcular limxto-inftyf(x).

Passo 3

Vamos estudar xto+infty. Primeiro calculemos
f(x)x=1+raizx^2+1x
Como raizx^2+1=xraiz1+1/x^2=xl(1+tfrac12x^2+o(1/x^2)r)=x+12x+o(1/x), temos
raizx^2+1x=1+12x^2+o(1/x^2)
e portanto
f(x)x=1+l(1+tfrac12x^2+o(1/x^2)r)=2+o(1)
Logo
a=limxtoinftyf(x)x=2

Passo 4

Agora calculamos
b=limxtoinftyl(f(x)-2xr)=limxtoinftyl(x+raizx^2+1-2xr)=limxtoinftyl(raizx^2+1-xr)
Usando novamente o desenvolvimento raizx^2+1=x+tfrac12x+o(1/x), temos
raizx^2+1-x=12x+o(1/x)to0
quando xtoinfty. Portanto b=0 e a assimptota oblíqua é y=2x.

Passo 5

Agora estudamos xto-infty. Temos
raizx^2+1=|x|raiz1+1/x^2=-xl(1+tfrac12x^2+o(1/x^2)r)=-x-12x+o(1/x)
Assim
f(x)=x+raizx^2+1=x+l(-x-tfrac12x+o(1/x)r)=-12x+o(1/x)to0
quando xto-infty. Logo existe uma assimptota horizontal y=0.

Passo 6

Não há descontinuidade nem divisão por zero na expressão original, portanto não há assimptotas verticais.

Resposta

As assimptotas são:
Para xto+infty: oblíqua y=2x
Para xto-infty: horizontal y=0

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