Identifique
e
e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
Passo 1
O enunciado pede pra gente identificar o centro da série de potências (x₀), os coeficientes cₙ, calcular o raio de convergência R e depois achar o intervalo onde a série converge.
Passo 2
Comparando com a forma padrão de uma série de potências
, vemos que os termos são
. Então o centro é
e os coeficientes são
.
Passo 3
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz: lembrando que
. Calculamos
Como
quando
, o
é 3 e daí
Passo 4
Agora testamos os extremos
.
- Para
a série vira , que converge (p-série com p=2). - Para
fica , que converge por ser alternada com termos decrescentes em módulo e indo a zero.
Passo 5
Concluímos que a série converge em todo o intervalo fechado de
a
, incluindo os extremos.
Resposta
x₀=0, cₙ=3ⁿ/(n+1)², raio de convergência R=1/3, intervalo de convergência
.