Identifique x0 e cn e determine o raio e o intervalo de convergência da série dada.
sumn=0^infty 3^n x^n(n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente identificar o centro da série de potências (x₀), os coeficientes cₙ, calcular o raio de convergência R e depois achar o intervalo onde a série converge.

Passo 2

Comparando com a forma padrão de uma série de potências sumn=0^infty cn(x-x0)^n, vemos que os termos são 3^n x^n/(n+1)^2. Então o centro é x0=0 e os coeficientes são cn=3^n(n+1)^2.

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz: lembrando que R=1/limsupntoinfty|cn|^1/n. Calculamos
|cn|^1/n=gl(3^n(n+1)^2gr)^1/n=3,(n+1)^-2/n
Como (n+1)^2/nto1 quando ntoinfty, o limsup é 3 e daí
R=13

Passo 4

Agora testamos os extremos x=pm R=pmtfrac13.
  • Para x=1/3 a série vira sum1/(n+1)^2, que converge (p-série com p=2).
  • Para x=-1/3 fica sum(-1)^n/(n+1)^2, que converge por ser alternada com termos decrescentes em módulo e indo a zero.

Passo 5

Concluímos que a série converge em todo o intervalo fechado de -1/3 a +1/3, incluindo os extremos.

Resposta

x₀=0, cₙ=3ⁿ/(n+1)², raio de convergência R=1/3, intervalo de convergência [−1/3,1/3].

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