Q.5: Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS das funções abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
f(x)=x^2+5 x+63 x^2-8

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=x^2+5x+63x^2-8
Este é um problema de limites infinitos e de limites no infinito: para as verticais, estudamos onde o denominador zera e o comportamento de f(x) perto desses pontos; para a horizontal, estudamos limxtopminftyf(x).

Passo 2

Identificamos o domínio exigindo 3x^2-8neq0. Assim
3x^2-8=0implies x^2=83implies x=pmraiz83=pm2raiz63
Como o numerador x^2+5x+6 não anula em x=pmraiz8/3, não há cancelamento. Para cada ponto a=pmraiz8/3 temos
limxto a^-f(x)=pminfty e limxto a^+f(x)=mpinfty,
ou seja, as retas
x=pmraiz83
são assíntotas verticais.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, notamos que os polinômios do numerador e do denominador têm mesmo grau (2). Portanto
limxtopminftyf(x) =limxtopminftyx^2(1+5/x+6/x^2)x^2(3-8/x^2) =13
Isso mostra que a reta
y=13
é a assíntota horizontal.

Resposta

Assíntotas verticais: x=raiztfrac83 e x=-raiztfrac83.
Assíntota horizontal: y=tfrac13.

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