Calcule as assíntotas horizontais e verticais, se existirem, das seguintes funções:
  • f(x)=x^2-3 x+2x^2-5 x+4;
  • g(x)=x^3-3 x^2+6 x-82 x^3-2;
  • h(x)=e^x2;
  • r(x)=4 x+5x-7;

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais das funções
f(x)=x^2-3x+2x^2-5x+4, g(x)=x^3-3x^2+6x-82x^3-2, h(x)=e^x2, r(x)=4x+5x-7
Para encontrar assíntotas verticais, identificamos pontos onde o denominador se anula sem cancelamento com o numerador e verificamos comportamento de f(x)topminfty. Para assíntotas horizontais, calculamos limxtopminftyf(x).

Passo 2

Analisando f(x)=x^2-3x+2x^2-5x+4, fatoramos numerador e denominador:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2), x^2-5x+4=(x-1)(x-4)
Há cancelamento de (x-1), logo x=1 é ponto removível, não assíntota. Em x=4 o denominador zera sem cancelamento e
f(x)topminfty conforme xto4^pm, portanto assíntota vertical x=4. Como os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal vem de
limxtopminftyf(x) =11=1,
logo y=1.

Passo 3

Em g(x)=x^3-3x^2+6x-82x^3-2 escrevemos
2x^3-2=2(x^3-1)=2(x-1)(x^2+x+1)
O numerador em x=1 vale 1-3+6-8=-4neq0, de modo que em x=1 há assíntota vertical x=1. Não há outras raízes reais em x^2+x+1. Para xtopminfty, como ambos são de grau 3,
limxtopminftyg(x)=12,
logo assíntota horizontal y=tfrac12.

Passo 4

Para h(x)=tfrace^x2 o domínio é R, não há pontos em que o denominador zere, portanto nenhuma assíntota vertical. Para xto+infty, h(x)to+infty não produz assíntota horizontal; para xto-infty,
limxto-inftyh(x)=0,
logo existe assíntota horizontal y=0.

Passo 5

Em r(x)=4x+5x-7 o denominador zera em x=7 sem cancelamento, gerando assíntota vertical x=7. Graus iguais no numerador e denominador dão
limxtopminftyr(x)=41=4,
logo assíntota horizontal y=4.

Resposta

f(x): assíntota vertical x=4, assíntota horizontal y=1
g(x): assíntota vertical x=1, assíntota horizontal y=tfrac12
h(x): nenhuma assíntota vertical, assíntota horizontal y=0
r(x): assíntota vertical x=7, assíntota horizontal y=4

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