Calcule as assíntotas vertical e horizontal de f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}, se existirem. Faça o le f(x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}.
O conteúdo aqui é “estudo de assíntotas”: para a vertical, buscamos pontos onde o denominador zera e o limite tende a infinito; para a horizontal, avaliamos o limite de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como o denominador x^{2}-1 não pode ser zero,
x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1,
logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\,x\neq1\}.
Isso sugere candidatas a assíntotas verticais em x=-1 e x=1.

Passo 3

Para confirmar que são de fato assíntotas verticais, calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to1^{-}}f(x) =\lim_{x\to1^{-}}\frac{1}{(x-1)(x+1)} =+\infty,
\lim_{x\to1^{+}}f(x) =\lim_{x\to1^{+}}\frac{1}{(x-1)(x+1)} =-\infty.
De modo análogo, em x=-1:
\lim_{x\to(-1)^{-}}f(x)= -\infty, \qquad \lim_{x\to(-1)^{+}}f(x)= +\infty.
Como em todos esses casos o valor de f(x) “explode” para \pm\infty, confirmamos assíntotas verticais em
\displaystyle x=1 e \displaystyle x=-1.

Passo 4

Agora a assíntota horizontal vem do comportamento em grande escala, isto é, x\to\pm\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}-1} =0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^{2}-1} =0.
Como esses limites são finitos e iguais a zero, temos assíntota horizontal em
\displaystyle y=0.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
Assíntota horizontal: y=0.

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