Seja S uma superfície orientada cuja fronteira \partial S é uma curva simples fechada com orientação positiva. Seja F um campo vetorial C^{1} definido em um aberto que contém S . Então o teorema de Stokes nos diz que
\iint_{S} \operatorname{rot} F d S=\int_{\partial S} F d r
Considerando o campo F(x, y, z)=(x y, y z, x y), faça o que se pede.
(a) Calcule o rotacional e o divergente de F.
(b) Calcule a integral
\iint_{S} \operatorname{rot} F d S
onde S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = (P,Q,R) = (xy,\;yz,\;xy)
e pede:
(a) \operatorname{rot}F e \operatorname{div}F.
(b) \displaystyle \iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot dS, onde S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano z=0.
Para (b) vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha ao longo da fronteira \partial S.

Passo 2

Calcular \operatorname{rot}F e \operatorname{div}F.
Pela definição
\operatorname{rot}F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr),
temos
\frac{\partial R}{\partial y}=x,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=y,
\frac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=x.
Portanto
\operatorname{rot}F = (\,x - y,\;0 - y,\;0 - x\,) = (\,x - y,\;-y,\;-x\,).
Para a divergente
\operatorname{div}F =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} =y + z + 0 =y+z.

Passo 3

Descrever S e sua fronteira \partial S.
S é a parte da esfera de raio 2 sobre o disco x^2+y^2\le1 e com z\ge0.
A única fronteira de S é a curva C onde a esfera e o cilindro se cruzam, i.e.
C:\quad x^{2}+y^{2}=1,\quad z=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
Pelo Teorema de Stokes,
\iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot dS =\oint_{C}F\cdot dr.
Escolhemos a orientação do normal de S para fora da esfera (que tem componente z>0), o que induz em C a orientação contrária ao ponteiro do relógio vista de cima.

Passo 4

Parametrizar C e montar a integral de linha.
Use
r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;\sqrt{3}),\quad 0\le t\le2\pi.
Então
r'(t) = (-\sin t,\;\cos t,\;0),
F\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(\cos t\sin t,\;\sin t\sqrt{3},\;\cos t\sin t\bigr).
Logo
F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) =(\cos t\sin t)(-\,\sin t) +(\sqrt{3}\,\sin t)(\cos t) +(\cos t\sin t)\cdot 0 =-\cos t\,\sin^{2}t+\sqrt{3}\,\sin t\cos t.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\!\bigl[-\cos t\,\sin^{2}t+\sqrt{3}\,\sin t\cos t\bigr]dt.
Use identidades de ângulo duplo ou note que
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,\sin^{2}t\,dt=0 e
\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt=0.
Portanto
\oint_{C}F\cdot dr =\int_{0}^{2\pi}\bigl[-\cos t\,\sin^{2}t+\sqrt{3}\sin t\cos t\bigr]dt =0.
Pelo Teorema de Stokes isso é igual a \iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot dS.

Resposta

(a) \displaystyle \operatorname{rot}F=(x-y,\,-y,\,-x),\quad \operatorname{div}F=y+z.
(b) \displaystyle \iint_{S}\operatorname{rot}F\cdot dS = 0.

Exercícios relacionados