Seja
uma superfície orientada cuja fronteira
é uma curva simples fechada com orientação positiva. Seja
um campo vetorial
definido em um aberto que contém S . Então o teorema de Stokes nos diz que
Considerando o campo
, faça o que se pede.
(a) Calcule o rotacional e o divergente de
.
(b) Calcule a integral
onde S é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
.
(a) Calcule o rotacional e o divergente de
(b) Calcule a integral
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
(a) e
.
(b) , onde
é a parte da esfera
dentro do cilindro
e acima do plano
.
Para (b) vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha ao longo da fronteira .
(a)
(b)
Para (b) vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha ao longo da fronteira
Passo 2
Calcular
e
.
Pela definição
Pela definição
temos
Portanto
Para a divergente
Passo 3
Descrever
e sua fronteira
.
é a parte da esfera de raio 2 sobre o disco
e com
.
A única fronteira de é a curva
onde a esfera e o cilindro se cruzam, i.e.
A única fronteira de
Pelo Teorema de Stokes,
Escolhemos a orientação do normal de
para fora da esfera (que tem componente
), o que induz em
a orientação contrária ao ponteiro do relógio vista de cima.
Passo 4
Parametrizar
e montar a integral de linha.
Use
Use
Então
Logo
Passo 5
Calcular
.
Use identidades de ângulo duplo ou note que
e
.
Portanto
Use identidades de ângulo duplo ou note que
Portanto
Pelo Teorema de Stokes isso é igual a
.
Resposta
(a)
(b)
(b)