Calcule os limites:
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n+3}{2 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{2n+3}{2n+1}\Bigr)^{n}.
Esse é um limite de sequência na forma (1+x_n)^{n} com x_n\to0, então vamos usar a ideia de que
\lim_{n\to\infty}(1+x_n)^{n} = e^{\lim_{n\to\infty}n\,x_n}
sempre que x_n\to0 e n\,x_n tiver limite finito.

Passo 2

Reescrevemos a fração como
\frac{2n+3}{2n+1} =1+\frac{2}{2n+1}.
Logo, definindo
x_n=\frac{2}{2n+1},
temos
\Bigl(\frac{2n+3}{2n+1}\Bigr)^{n} =\bigl(1+x_n\bigr)^{n}.

Passo 3

Verificamos que x_n\to0 quando n\to\infty, pois
\lim_{n\to\infty}x_n =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{2n+1} =0.
Por outro lado, a regra de limite para essa forma diz que
\lim_{n\to\infty}(1+x_n)^{n} =e^{\lim_{n\to\infty}n\,x_n},
desde que \lim_{n\to\infty}n\,x_n exista.

Passo 4

Calculamos o produto n\,x_n:
n\,x_n =n\cdot\frac{2}{2n+1} =\frac{2n}{2n+1} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n+1} =1.

Passo 5

Aplicando a regra, obtemos
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+x_n\Bigr)^{n} =e^{\lim_{n\to\infty}n\,x_n} =e^{1} =e.

Resposta

e

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