Calcule a atenuação, em 1000 Hz , promovida por uma barreira de 2,10 \mathrm{~m} de altura que foi construída para dividir as duas pistas de uma rodovia. A distância entre a fonte e o receptor é de 38 m . A barreira foi construída exatamente no ponto médio entre a fonte e o receptor. Considere a barreira semi-infinita e a fonte puntiforme.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a atenuação (em dB) provocada por uma barreira de altura 2,10\\ \mathrm{m} à frequência de 1000\\ \mathrm{Hz}, quando a distância entre fonte e receptor é 38\\ \mathrm{m} e a barreira foi construída exatamente no ponto médio entre fonte e receptor. A barreira deve ser tratada como semi-infinita e a fonte como pontual.
Dados fornecidos (lisos e claros):
\begin{aligned} &\text{altura da barreira: } h_\text{barreira} = 2,10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{distância total fonte–receptor: } d = 38\\ \mathrm{m},\\\ &\text{barreira no ponto médio } \Rightarrow d_1 = d_2 = 19\\ \mathrm{m},\\\ &\text{frequência: } f = 1000\\ \mathrm{Hz},\\\ &\text{condições: barreira semi-infinita, fonte pontual.} \end{aligned}âéêçõ

Passo 2

Como vou resolver (explicação do método escolhido, sem jargão): uma barreira semi-infinita com uma aresta superior que corta a linha de visão entre fonte e receptor comporta-se como um “knife-edge” (aresta de faca) do ponto de vista da difração. Para esse caso existe um parâmetro adimensional chamado parâmetro de Fresnel v que resume a geometria e a relação entre altura da barreira e comprimento de onda; a atenuação (insertion loss) pode ser obtida a partir de v por uma fórmula empírica bem conhecida. Escolhi esse método porque: (i) enunciado pede semi-infinita e fonte pontual — é exatamente o caso clássico de “knife-edge”; (ii) é prático para calcular na prova sem recorrer a tabelas complexas.

Passo 3

Apresento a fórmula do parâmetro de Fresnel v e explico cada termo:
v = h \sqrt{\dfrac{2(d_1 + d_2)}{\lambda\, d_1 d_2}}.
Aqui:
  • h é a altura efetiva da aresta da barreira medida perpendicularmente à linha direta entre fonte e receptor (ou seja, a diferença entre a altura do topo da barreira e a linha de visão); se fonte e receptor estiverem praticamente ao nível do chão, h é simplesmente a altura da barreira.
  • d_1 é a distância da fonte até a barreira.
  • d_2 é a distância da barreira até o receptor.
  • \lambda é o comprimento de onda do som à frequência dada, \lambda = c/f.
    O parâmetro v indica quão “forte” é a obstrução em termos de comprimento de onda: valores maiores de v correspondem a maior bloqueio (mais atenuação).

Passo 4

Calculo do comprimento de onda \lambda à frequência \;f=1000\\ \mathrm{Hz}. Tomando velocidade do som típica c = 343\\ \mathrm{m/s}:
\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{343}{1000} = 0,343\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Defino as demais grandezas numéricas conforme o enunciado:
d_1 = d_2 = 19\\ \mathrm{m},\qquad h = 2,10\\ \mathrm{m}.
(Estou supondo que a linha de visão entre fonte e receptor está ao nível do solo, ou seja, h é a altura total da barreira em relação a essa linha — isso é a interpretação mais direta do enunciado.)

Passo 6

Agora calculo o parâmetro v passo a passo:
d_1 d_2 = 19\cdot 19 = 361\\ \mathrm{m^2}.
2(d_1+d_2) = 2\cdot 38 = 76\\ \mathrm{m}.
\lambda d_1 d_2 = 0,343 \cdot 361 = 123,823\\ (\text{aprox.})\\ \mathrm{m^3}.
\frac{2(d_1+d_2)}{\lambda d_1 d_2} = \frac{76}{123,823} \approx 0,6139.
\sqrt{\frac{2(d_1+d_2)}{\lambda d_1 d_2}} \approx \sqrt{0,6139} \approx 0,7836.
v = h \times 0,7836 = 2,10 \times 0,7836 \approx 1,646.

Passo 7

Com v calculado, uso a fórmula empírica usual para atenuação por difração de uma aresta (knife-edge):
A = 6,9 + 20\log_{10}\!\Big(\sqrt{(v-0,1)^2 + 1} + v - 0,1\Big),
onde A é a atenuação em decibéis. Essa expressão é uma aproximação prática que dá valores muito próximos dos obtidos pelas integrais de Fresnel e é normalmente usada em problemas de controle de ruído por barreiras.

Passo 8

Substituo v\approx 1,646 na fórmula e calculemos passo a passo:
v - 0,1 = 1,646 - 0,1 = 1,546.
(v-0,1)^2 + 1 = 1,546^2 + 1 \approx 2,389 + 1 = 3,389.
\sqrt{(v-0,1)^2 + 1} \approx \sqrt{3,389} \approx 1,8415.
\sqrt{(v-0,1)^2 + 1} + v - 0,1 \approx 1,8415 + 1,546 = 3,3875.
20\log_{10}(3,3875) \approx 20 \times 0,5293 = 10,586\\ \mathrm{dB}.
A = 6,9 + 10,586 \approx 17,486\\ \mathrm{dB}.
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas, a atenuação é aproximadamente 17,5\\ \mathrm{dB}.

Passo 9

Interpretação curta e encorajamento: isso significa que, nessa configuração geométrica (barreira de 2,10\\ \mathrm{m} no meio entre fonte e receptor a 38\\ \mathrm{m}), a redução do nível sonoro devido à difração no topo da barreira, à frequência de 1000\\ \mathrm{Hz}, é cerca de 17,5\\ \mathrm{dB}. Se quiser, podemos repetir o cálculo para outras frequências (basta recalcular \lambda e depois v) — é um ótimo exercício para ver como a atenuação varia com a frequência.

Resposta

17,5\\ \mathrm{dB} (aproximadamente)

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