Uma ONG deseja mostrar o impacto do ruído ambiental de uma rodovia em uma comunidade. Para isso mede por 24 horas o ruído local. Na tabela são mostrados os valores de nível de pressão sonora equivalente, em \mathrm{dB}(\mathrm{A}) para cada uma hora de medição. As células escuras correspondem às medidas realizadas entre 22 e 7 horas. Pede-se:
70 62 77 70 69 58
55 73 67 74 68 85
62 64 76 63 82 66
61 71 57 79 59 60
a) Calcular o nível de pressão sonora equivalente para o período das 24 horas?
b) Calcular o nível de pressão sonora equivalente dia-noite para o período medido?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o nível de pressão sonora equivalente para as 24 horas (Leq das 24 h).
  2. Calcular o nível de pressão sonora dia-noite para o período medido (Ldn), sabendo que as células escuras correspondem às medidas realizadas entre 22 e 7 horas.
Dados (tabela com 24 medidas, lidas linha a linha, da esquerda para a direita, de cima para baixo):
\begin{array}{rrrrrr} 70 & 62 & 77 & 70 & 69 & 58 \\\\ 55 & 73 & 67 & 74 & 68 & 85 \\\\ 62 & 64 & 76 & 63 & 82 & 66 \\\\ 61 & 71 & 57 & 79 & 59 & 60 \end{array}
Observações / hipótese necessária (porque o enunciado textual não nos diz explicitamente qual célula corresponde a cada hora):
  • Vou assumir a leitura mais comum: a primeira célula (canto superior esquerdo) é a hora 0\!:\!00 1\!:\!00 (hora 0), e a leitura segue em ordem crescente de hora, linha por linha, até a última célula que é a hora 23\!:\!00 24\!:\!00 (hora 23).
  • O período noturno 22\!:\!00 07\!:\!00 corresponde, portanto, às horas \;22,23,0,1,2,3,4,5,6\; (nove horas). Essas são as medidas que o enunciado designou como “células escuras”.

Passo 2

Conceito e fórmula para L_\text{eq} (nível equivalente) — aula rápida:
  • O nível de pressão sonora em decibéis é uma escala logarítmica. Para “média energética” (o que Leq faz) precisamos transformar cada nível em sua contribuição energética linear, somar essas energias e depois voltar à escala em dB.
  • Fórmula contínua:
L_{\mathrm{eq}} = 10\log_{10}\!\left(\frac{1}{T}\int_0^T 10^{L(t)/10}\,dt\right).
  • Para medidas discretas de igual duração (aqui 24 medidas horárias igualmente espaçadas), a fórmula discreta fica:
L_{\mathrm{eq}} = 10\log_{10}\!\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}10^{L_i/10}\right),
onde \;N=24\; e L_i é o valor em dB da i-ésima hora.
  • Explicando as variáveis: L_i é o nível em decibéis medido na i-ésima hora; 10^{L_i/10} converte dB (log) em unidade proporcional à energia; somando e dividindo por N obtemos a média energética; 10\log_{10}(\cdot) transforma de volta para dB.

Passo 3

Converter cada medida L_i em sua contribuição linear 10^{L_i/10} (vou mostrar os cálculos principais — convertendo cada dB para “unidades de energia” proporcionais):
\begin{aligned} &70\rightarrow 10^{70/10}=10^{7,0}=1{,}000000\times10^{7},\\\ &62\rightarrow 10^{6,2}=1{,}584893\times10^{6},\\\ &77\rightarrow 10^{7,7}=5{,}011872\times10^{7},\\\ &70\rightarrow 1{,}000000\times10^{7},\\\ &69\rightarrow 10^{6,9}=7{,}943282\times10^{6},\\\ &58\rightarrow 10^{5,8}=6{,}309573\times10^{5},\\\ &55\rightarrow 10^{5,5}=3{,}162278\times10^{5},\\\ &73\rightarrow 10^{7,3}=1{,}995262\times10^{7},\\\ &67\rightarrow 10^{6,7}=5{,}011872\times10^{6},\\\ &74\rightarrow 10^{7,4}=2{,}511886\times10^{7},\\\ &68\rightarrow 10^{6,8}=6{,}309573\times10^{6},\\\ &85\rightarrow 10^{8,5}=3{,}162278\times10^{8},\\\ &62\rightarrow 1{,}584893\times10^{6},\\\ &64\rightarrow 10^{6,4}=2{,}511886\times10^{6},\\\ &76\rightarrow 10^{7,6}=3{,}981072\times10^{7},\\\ &63\rightarrow 10^{6,3}=1{,}995262\times10^{6},\\\ &82\rightarrow 10^{8,2}=1{,}584893\times10^{8},\\\ &66\rightarrow 10^{6,6}=3{,}981072\times10^{6},\\\ &61\rightarrow 10^{6,1}=1{,}258925\times10^{6},\\\ &71\rightarrow 10^{7,1}=1{,}258925\times10^{7},\\\ &57\rightarrow 10^{5,7}=5{,}011872\times10^{5},\\\ &79\rightarrow 10^{7,9}=7{,}943282\times10^{7},\\\ &59\rightarrow 10^{5,9}=7{,}943282\times10^{5},\\\ &60\rightarrow 10^{6,0}=1{,}000000\times10^{6}. \end{aligned}

Passo 4

Somar todas as contribuições lineares e calcular L_{\mathrm{eq}} das 24 h.
  • Soma das energias:
\sum_{i=1}^{24}10^{L_i/10}\approx 7{,}5514601805\times10^{8}.
(na conta acima somei cuidadosamente cada contribuição listada no passo anterior; o total é aproximadamente 7{,}55146\times10^{8}.)
  • Agora aplicar a fórmula discreta:
L_{\mathrm{eq,24}} = 10\log_{10}\!\left(\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{24}10^{L_i/10}\right).
Substituindo o somatório:
\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{24}10^{L_i/10}\approx \frac{7{,}5514601805\times10^{8}}{24} =3{,}146441742\times10^{7}.
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L_{\mathrm{eq,24}} = 10\log_{10}\!\left(3{,}146441742\times10^{7}\right) =10\bigl(7+\log_{10}(3{,}146441742)\bigr)\approx 10(7+0{,}4978)\approx 74{,}98\\ \mathrm{dB(A)}.
Explicando em palavras: o valor de L_{\mathrm{eq,24}} fica em torno de 75\\ \mathrm{dB(A)}. Isso já é uma média energética: ruídos mais altos (por exemplo a hora com 85\\ \mathrm{dB(A)}) pesam muito na média porque sua energia é muito maior.

Passo 5

Definição e fórmula para L_{dn} (dia‑noite) — aula rápida:
  • O índice dia‑noite normalmente adiciona uma penalidade de 10\\ \mathrm{dB} às horas noturnas (para refletir maior incômodo à noite). Em termos de energia, somar 10 dB é multiplicar a energia por 10^{10/10}=10.
  • Fórmula discreta com penalidade (para N=24 horas e conjunto de horas noturnas N_{\text{night}}):
L_{\mathrm{dn}} = 10\log_{10}\!\left(\frac{1}{24}\Bigl(\sum_{i\in\text{day}}10^{L_i/10} + 10\sum_{j\in\text{night}}10^{L_j/10}\Bigr)\right).
  • Interpretação: multiplicamos as contribuições energéticas das horas noturnas por 10 antes de calcular a média, porque cada uma recebeu um acréscimo de 10\\ \mathrm{dB}.

Passo 6

Calcular L_{\mathrm{dn}} com as horas noturnas identificadas ( 22,23,0,1,2,3,4,5,6).
  • Soma das energias das horas noturnas (valores correspondentes: 59,60,70,62,77,70,69,58,55) é
\sum_{\text{night}}10^{L/10}\approx 7{,}23884083\times10^{7}.
  • Soma das energias diurnas é então
\sum_{\text{day}}10^{L/10}=\sum_{i=1}^{24}10^{L_i/10}-\sum_{\text{night}}10^{L/10} \approx 7{,}5514601805\times10^{8}-7{,}23884083\times10^{7} \approx 6{,}8275760975\times10^{8}.
  • Aplicando a fórmula com o fator 10 para a noite:
\frac{1}{24}\Bigl(\sum_{\text{day}}10^{L/10}+10\sum_{\text{night}}10^{L/10}\Bigr) \approx \frac{1}{24}\bigl(6{,}8275760975\times10^{8}+7{,}23884083\times10^{8}\bigr)
=\frac{1}{24}\bigl(1{,}40664169275\times10^{9}\bigr)\approx 5{,}861007053125\times10^{7}.
  • Finalmente
L_{\mathrm{dn}}=10\log_{10}\!\left(5{,}861007053125\times10^{7}\right) =10\bigl(7+\log_{10}(5{,}861007053125)\bigr)\approx 10(7+0{,}7682)\approx 77{,}68\\ \mathrm{dB(A)}.
Interpretação: a penalidade noturna eleva o nível médio (a média energética sobe bastante porque as horas noturnas são multiplicadas por 10). Aqui o L_{\mathrm{dn}} é cerca de 2{,}7\\ \mathrm{dB} maior que o L_{\mathrm{eq,24}}.

Resposta

(a) 74,98\\ \mathrm{dB(A)}
(b) 77,68\\ \mathrm{dB(A)}

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