Calcule através de uma integral tripla o volume do corpo limitado pelas superfícies
y^{2}=4 a^{2}-3 a x \quad, \quad y^{2}=a x \quad, \quad z= \pm h

Passo 1

O enunciado pede o volume do corpo E limitado pelas superfícies
y^{2}=4a^{2}-3ax,\quad y^{2}=ax,\quad z=\pm h.
O método é usar uma integral tripla
V=\iiint_{E}dV
e projetar E no plano xy, já que em z temos apenas as duas faces planas z=\pm h.

Passo 2

Determinar a projeção D de E no plano xy. As curvas de contorno de D são
y^{2}=ax\quad\text{e}\quad y^{2}=4a^{2}-3ax.
Elas se cruzam quando
ax=4a^{2}-3ax \;\Longrightarrow\; 4ax=4a^{2} \;\Longrightarrow\; x=a,
e aí y^{2}=a^{2}, ou seja -a\le y\le a. Para cada y\in[-a,a], x varia de
x=\frac{y^{2}}{a} \quad\text{até}\quad x=\frac{4a^{2}-y^{2}}{3a}.é

Passo 3

Escrever a integral iterada em coordenadas cartesianas:
V =\int_{z=-h}^{h} \int_{y=-a}^{a} \int_{x=\frac{y^{2}}{a}}^{\frac{4a^{2}-y^{2}}{3a}} dx\,dy\,dz.

Passo 4

Calcular a integral em x e z:
A integral em x
\int_{\frac{y^{2}}{a}}^{\frac{4a^{2}-y^{2}}{3a}} dx =\frac{4a^{2}-y^{2}}{3a}-\frac{y^{2}}{a} =\frac{4}{3a}\bigl(a^{2}-y^{2}\bigr).
Como não há z nesse resultado, a integral em z entre -h e h rende um fator 2h. Assim
V =2h \int_{-a}^{a} \frac{4}{3a}\bigl(a^{2}-y^{2}\bigr) dy.

Passo 5

Calcular a integral em y:
\int_{-a}^{a}(a^{2}-y^{2})\,dy =2\int_{0}^{a}(a^{2}-y^{2})\,dy =2\Bigl[a^{2}y-\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{a} =2\Bigl(a^{3}-\tfrac{a^{3}}{3}\Bigr) =\tfrac{4a^{3}}{3}.
Logo
V =2h\;\frac{4}{3a}\;\frac{4a^{3}}{3} =\frac{32}{9}\,a^{2}h.

Resposta

V=\frac{32}{9}\,a^{2}h.

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