Calcule através de mudança de variáveis.
integral0^1[integralx^2^raiz2-x^2 raizx^2+y^2 d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede
I = integral0^1l[integralx^2^raiz2 - x^2 raizx^2+y^2;dyr]dx
e sugere “mudança de variáveis”. Como aparece raizx^2+y^2, vamos usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
e a função raizx^2+y^2 torna-se r. Precisamos só descrever bem a região D em (r,theta).

Passo 2

A região D é dada por
0<= x<=1, x^2<= y<= raiz2 - x^2
Em polares temos
  1. x>=0 e y>=0 dão 0<=theta<=tfracpi2.
  2. y<=raiz2 - x^2 é x^2+y^2<=2, ou seja r<=raiz2.
  3. y>= x^2 vira
rsintheta >= (rcostheta)^2 ;Longrightarrow; r <= sinthetacos^2theta (para r>0)
Logo em cada theta temos
0<= r<= min!l(raiz2,;sinthetacos^2thetar)

Passo 3

Para saber qual dos dois limites é o menor, resolve-se
sinthetacos^2theta <= raiz2 ;Long<=ftrightarrow; theta <= pi4
Assim a região se separa em duas “fatia”s angulares:
  • Se 0<=theta<=tfracpi4, então sintheta/cos^2theta<=raiz2 e 0<= r<= sinthetacos^2theta
  • Se tfracpi4<=theta<=tfracpi2, então sintheta/cos^2theta>=raiz2 e 0<= r<= raiz2

Passo 4

Escrevendo a integral em polares:
I=integral duplaDraizx^2+y^2,dx,dy =integral duplaDr,(r,dr,dtheta) =integral duplaDr^2,dr,dtheta
E dividimos em dois pedaços conforme 0<=theta<=pi/4 e pi/4<=theta<=pi/2.

Passo 5

Primeira parte ( 0<=theta<=pi/4):
integral0^pi/4 l[integral0^sinthetacos^2thetar^2,drr]dtheta =integral0^pi/413l(sinthetacos^2thetar)^3dtheta =13integral0^pi/4sin^3thetacos^6thetadtheta
Note que
sin^3thetacos^6theta =tantheta,sec^5theta -tantheta,sec^3theta,
e
integral tantheta,sec^5theta,dtheta =sec^6theta6, integral tantheta,sec^3theta,dtheta =sec^4theta4
Portanto essa parte é
13l[sec^6theta6-sec^4theta4r]0^pi/4 =13l[l(tfrac86-1r)-l(tfrac16-tfrac14r)r] =536

Passo 6

Segunda parte ( pi/4<=theta<=pi/2):
integralpi/4^pi/2 l[integral0^raiz2r^2,drr]dtheta =integralpi/4^pi/2(raiz2)^33,dtheta =2raiz23,l(pi2-pi4r) =piraiz26

Resposta

boxed,536 ;+;piraiz26,

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