Determine a posição relativa e o ângulo entre os planos pi1:-x-2 y+z=3 e pi2: x+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa e o ângulo entre os planos
pi1:-x-2y+z=3 e pi2:x+y=0.
O conteúdo necessário é:
  1. Identificar os vetores normais de cada plano.
  2. Verificar se esses vetores são proporcionais (para saber se os planos são paralelos ou coincidentes).
  3. Usar a fórmula do ângulo entre planos, que é o mesmo ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Vamos extrair os vetores normais. O plano geral é ax+by+cz=d, e seu normal é (a,b,c).
Para pi1:-x-2y+z=3, temos
n1 = (-1,,-2,,1)
Para pi2:x+y=0 (equivale a 1cdot x +1cdot y +0cdot z=0),
n2 = (1,,1,,0)

Passo 3

Verificamos se n1 e n2 são proporcionais, ou seja, existe lambda tal que n1 = lambdan2.
Se isso acontecesse, teríamos
(-1,-2,1) = (lambda,lambda,0cdotlambda) = (lambda,lambda,0),
o que exigiria lambda= -1 e lambda=-2 simultaneamente e também 0=1, o que é impossível.
Logo, os vetores não são proporcionais, portanto os planos não são paralelos nem coincidentes: eles se interceptam ao longo de uma reta.

Passo 4

Para achar o ângulo phi entre os planos, calculamos o ângulo entre n1 e n2.
O produto escalar é
n1 cdot n2 = (-1)cdot1 + (-2)cdot1 + 1cdot0 = -3
Os módulos são
|n1| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1+4+1 = raiz6,
|n2| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
Assim,
cosphi = l|n1 cdot n2r||n1|,|n2| = 3raiz6,raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32
Logo,
phi = arccos!l(tfracraiz32r) = 30^circ

Resposta

Os planos pi1 e pi2 são concorrentes (não paralelos, não coincidentes) e o ângulo entre eles é 30^circ.

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