Questão 21. Determine a posição relativa e o ângulo entre as retas r: P=(1,0,0)+lambda(0,1,0) e s: x+32=y-1=z+4-3.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa (se são paralelas, concorrentes, coincidentes ou reversas) e o ângulo entre as retas
r dada por
r:;P=(1,0,0)+lambda,(0,1,0)
e s dada por
x+32=y-1=z+4-3
O conteúdo usado será geometria analítica no espaço: obter as formas paramétricas, extrair vetores diretores, testar paralelismo/interseção e, finalmente, calcular o ângulo via produto escalar.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma paramétrica padrão e identificamos ponto e vetor diretor.
Para r:
(x,y,z) = (1,0,0) + lambda,(0,1,0),
logo ponto Pr=(1,0,0) e
vec v = (0,1,0)
Para s: igualamos a um parâmetro t:
x+32=t, y-1=t, z+4-3=t,
ou seja
(x,y,z)=(-3,1,-4) + t,(2,1,-3),
logo ponto Ps=(-3,1,-4) e
vec u=(2,1,-3)

Passo 3

Testamos se são paralelas verificando se vec v e vec u são múltiplos escalares.
vec v=(0,1,0), vec u=(2,1,-3)
Não existe alpha tal que vec v=alphavec u, pois 0neqalphacdot2 por exemplo. Logo não são paralelas.

Passo 4

Testamos interseção resolvendo
(1,,lambda,,0) = (-3+2t,;1+t,;-4-3t)
Das coordenadas x e y obteríamos
1=-3+2timplies t=2, lambda=1+t=3,
mas na z teríamos
0=-4-3t=-4-6=-10,
contradição. Portanto não se intersectam e, como não são paralelas, são retas reversas.

Passo 5

O ângulo theta entre retas é o ângulo entre vec v e vec u, dado por
costheta = |vec vcdotvec u||vec v|;|vec u|
Calculamos
vec vcdotvec u = (0,1,0)cdot(2,1,-3)=1, |vec v|=1, |vec u|=raiz2^2+1^2+(-3)^2=raiz14
Logo
costheta = 1raiz14 Longrightarrow theta = arccos!l(tfrac1raiz14r)

Resposta

As retas são reversas (não paralelas e sem ponto em comum) e o ângulo entre elas é
theta = arccos!l(1raiz14r)

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