Questão 26. Calcule a distância do ponto P(1,1,-1) e a reta s:lx-y=1 x+y-z=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto
O conteúdo é a distância de um ponto a uma reta no espaço, que podemos calcular com a fórmula
onde é um ponto qualquer sobre ela.

Passo 2

Para encontrar uma forma paramétrica de s, definimos x=t.
Então da primeira equação vem y = t - 1.
Substituindo em x + y - z = 0 obtemos
t + (t - 1) - z = 0 Longrightarrow z = 2t - 1
Logo um ponto de referência é Q=(0,-1,-1) (em t=0) e o vetor diretor é
v = (1,1,2)

Passo 3

Formamos o vetor QP = P - Q:
QP = (1-0,;1-(-1),;-1-(-1)) = (1,2,0)
Agora calculamos o produto vetorial:
QPtimes v = det i & j & k 1 & 2 & 0 1 & 1 & 2 = (4,,-2,,-1)
Seu módulo é
l|QPtimes vr| = raiz4^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz21
E o módulo de v é
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz6

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância,
d = raiz21raiz6 = raiz216 = raiz72

Resposta

d = raiz72.

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