Calcule através de mudança de variáveis.
integral0^1[integral0^raizx-x^2 x d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1l[integral0^raizx - x^2x,dyr]dx
ou seja, interpretar isso como
integral duplaDx,dA,
onde D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=raizx-x^2.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando a geometria do domínio para facilitar.

Passo 2

Repare que a curva y=raizx-x^2 satisfaz
y^2 = x - x^2 Long<=ftrightarrow x^2 - x + y^2 = 0 Long<=ftrightarrow l(x-tfrac12r)^2 + y^2 = l(tfrac12r)^2
Logo D é a metade superior do disco de raio tfrac12 centrado em (tfrac12,0).
Fazendo a primeira troca de variável, deslocamos o centro:
u = x - tfrac12, v = y
Em (u,v), o domínio vira
u^2 + v^2 <= l(tfrac12r)^2, v>=0

Passo 3

Agora usamos coordenadas polares em (u,v):
u = tfrac12,rcostheta, v = tfrac12,rsintheta,
com
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= pi
O jacobiano é
gl|partial(u,v)partial(r,theta)gr| = tfrac12cdottfrac12,r = r4
E como x = u + tfrac12, temos
x = tfrac12 + r2costheta

Passo 4

Substituindo em integral duplaDx,dA, temos
integral0^piintegral0^1 l(tfrac12 + tfrac r2costhetar),l( r4r),dr,dtheta = integral0^piintegral0^1 l( r8 + r^2costheta8r),dr,dtheta
Separamos as integrais em r:
integral0^1 r8,dr = 18,12 = 116, integral0^1r^28,dr = 18,13 = 124
Então a integral fica
integral0^pi l(116 + costheta24r) dtheta

Passo 5

Integramos em theta:
integral0^pi116,dtheta = pi16, integral0^picostheta24,dtheta = 0
Somando, obtemos
integral duplaDx,dA = pi16

Resposta

pi16

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