Calcule através de mudança de variáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ou seja, interpretar isso como
onde
.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando a geometria do domínio para facilitar.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando a geometria do domínio para facilitar.
Passo 2
Repare que a curva
satisfaz
Logo
é a metade superior do disco de raio
centrado em
.
Fazendo a primeira troca de variável, deslocamos o centro:
Fazendo a primeira troca de variável, deslocamos o centro:
Em
, o domínio vira
Passo 3
Agora usamos coordenadas polares em
:
com
O jacobiano é
E como
x = u + tfrac12 , temos
Passo 4
Substituindo em
integral duplaDx,dA , temos
Separamos as integrais em
r :
Então a integral fica
Passo 5
Integramos em
theta :
Somando, obtemos