Calcule através de mudança de variáveis.
integral0^1[integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1l[integral,1-raiz1-x^2^,1+raiz1-x^2x,y,dyr]dx
usando mudança de variáveis. O conteúdo principal aqui é transformar a integral iterada num integral dupla sobre uma região R no plano, depois fazer uma tradução seguida de coordenadas polares.

Passo 2

Vamos reescrever como integral dupla sobre
R=l(x,y)mid 0<= x<=1,;1-raiz1-x^2<= y<=1+raiz1-x^2r
Ou seja,
integral0^1l[integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2x,y,dyr]dx =integral duplaRx,y,dA

Passo 3

A condição 1-raiz1-x^2<= y<=1+raiz1-x^2 equivale a
(y-1)^2<=1-x^2 Long<=ftrightarrow x^2+(y-1)^2<=1
Portanto R é a metade direita (com x>=0) do disco de raio 1 centrado em (0,1).

Passo 4

Fazemos a tradução
u=x, v=y-1,
de modo que R vira
R'=(u,v)mid u^2+v^2<=1,;u>=0,
e a integral fica
integral duplaRx,y,dA =integral duplaR'u,(v+1),du,dv

Passo 5

Agora passamos a coordenadas polares em (u,v):
u=rcostheta,; v=rsintheta,; rin[0,1],; thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]
O jacobiano é r, e o integrando
u,(v+1)=rcostheta,(rsintheta+1) =r^2costhetasintheta+rcostheta
Multiplicando pelo r do jacobiano, obtemos
r^3costhetasintheta+r^2costheta

Passo 6

A integral dupla em polares é
integral-pi/2^pi/2!integral0^1l(r^3costhetasintheta+r^2costhetar),dr,dtheta
Integramos em r:
integral0^1r^3dr=tfrac14, integral0^1r^2dr=tfrac13
Logo
integral-pi/2^pi/2l(tfrac14costhetasintheta+tfrac13costhetar)dtheta
Como
integral-pi/2^pi/2costhetasintheta,dtheta =l[tfracsin^2theta2r]-pi/2^pi/2=0,
e
integral-pi/2^pi/2costheta,dtheta =l[sinthetar]-pi/2^pi/2=2,
a integral total vale
tfrac13times2=tfrac23

Resposta

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