Calcule através de mudança de variáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
usando mudança de variáveis. O conteúdo principal aqui é transformar a integral iterada num integral dupla sobre uma região
no plano, depois fazer uma tradução seguida de coordenadas polares.
Passo 2
Vamos reescrever como integral dupla sobre
Ou seja,
Passo 3
A condição
equivale a
Portanto
é a metade direita (com
) do disco de raio
centrado em
.
Passo 4
Fazemos a tradução
de modo que
vira
e a integral fica
Passo 5
Agora passamos a coordenadas polares em
:
O jacobiano é
, e o integrando
Multiplicando pelo
do jacobiano, obtemos
Passo 6
A integral dupla em polares é
Integramos em
:
Logo
Como
e
a integral total vale