Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(x)=arcsen(xraiz1+x^2)

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x)=arcsin!l(xraiz1+x^2r)
e queremos f'(x). Vamos usar a regra da cadeia: se f(x)=arcsin(u(x)), então
f'(x)=u'(x)raiz1 - [u(x)]^2

Passo 2

Definimos
u(x)=xraiz1+x^2
Para encontrar f'(x), precisamos de u'(x) e de raiz1-[u(x)]^2.

Passo 3

Calculamos u'(x) usando derivada de quociente (ou produto):
u(x)=x,(1+x^2)^-tfrac12
u'(x)=1cdot(1+x^2)^-tfrac12 + xcdotl(-tfrac12r)(1+x^2)^-tfrac32cdot2x
u'(x)=1raiz1+x^2 -x^2(1+x^2)^3/2 =1+x^2 - x^2(1+x^2)^3/2 =1(1+x^2)^3/2

Passo 4

Agora calculamos
1 - [u(x)]^2 =1 - x^21+x^2 =1+x^2 - x^21+x^2 =11+x^2
Logo
raiz1 - [u(x)]^2 =1raiz1+x^2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) =u'(x)raiz1 - [u(x)]^2 = 1(1+x^2)^3/2 1raiz1+x^2 =1(1+x^2)^3/2cdotraiz1+x^2 =11+x^2

Resposta

f'(x)=11+x^2

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