Calcule os autovalores e os autoespaços associados de:
A=[ccc3 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & -1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores e os autoespaços da matriz
A = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 2 0 & -1 & 0
O conteúdo usado será: (i) cálculo do polinômio característico det(A-lambda I) e fatoração para encontrar os autovalores lambda; (ii) solução do sistema (A-lambda I)x=0 para obter cada autoespaço.

Passo 2

Escrevemos o determinante de A-lambda I. Como a primeira linha tem só um termo não nulo, expandimos por cofactor na primeira linha:
det(A-lambda I) =det 3-lambda & 0 & 0 0 & 3-lambda & 2 0 & -1 & -lambda =(3-lambda),det3-lambda & 2-1 & -lambda

Passo 3

Calculamos o menor 2times 2 e fatoramos:
det3-lambda & 2-1 & -lambda =(3-lambda)(-lambda)-2(-1) =lambda^2-3lambda+2 =(lambda-1)(lambda-2)
Logo
det(A-lambda I)=(3-lambda)(lambda-1)(lambda-2),
e os autovalores são lambda=3,1,2.

Passo 4

Para resolvemos
Dessas equações vêm e , ou seja , , enquanto é livre.
Autoespaço em :

Passo 5

Para resolvemos
Da primeira linha . Das outras, e são equivalentes a .
Autoespaço em :

Passo 6

Para resolvemos
Da primeira linha . Das outras, e dão .
Autoespaço em :

Resposta

Os autovalores são
lambda=3, lambda=1, lambda=2,
com autoespaços respectivos
E3=span(1,0,0), E1=span(0,-1,1), E2=span(0,-2,1)

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