Estabeleça um isomorfismo entre as matrizes anti-simétricas e as matrizes triangular superior com diagonal nula, ( ordem 4).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para estabelecer um isomorfismo entre as matrizes anti-simétricas e as matrizes triangulares superiores com diagonal nula, ambas de ordem 4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes anti-simétricas, matrizes triangulares superiores com diagonal nula e o conceito de isomorfismo entre espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz
é anti-simétrica se ela satisfaz
, onde
é a transposta de
. Isso significa que os elementos da diagonal principal devem ser zero, pois
implica
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as matrizes triangulares superiores com diagonal nula. Uma matriz triangular superior é aquela em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Quando a diagonal principal também é zero, temos uma matriz triangular superior com diagonal nula. Ou seja, para uma matriz
de ordem 4, temos
para
e
.
Passo 4
Para estabelecer um isomorfismo entre os dois conjuntos de matrizes, precisamos definir uma função
que seja bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) e que preserve as operações de adição e multiplicação por escalar. Em outras palavras, queremos que
e
para quaisquer matrizes
anti-simétricas e escalar
.
Passo 5
Vamos definir a função
de forma que ela estabeleça essa correspondência. Considerando que ambas as matrizes têm zeros na diagonal e que as matrizes anti-simétricas têm elementos abaixo da diagonal determinados pelos elementos acima (pois
), podemos mapear cada elemento livre da matriz anti-simétrica para a matriz triangular superior correspondente.
Passo 6
Mais especificamente, para cada matriz anti-simétrica
de ordem 4, definimos
, onde
é a matriz triangular superior com
para
e zeros na diagonal e abaixo. Isso garante que cada elemento acima da diagonal em
seja mapeado diretamente para
, e os elementos abaixo da diagonal em
não são necessários no mapeamento, já que
é triangular superior.
Passo 7
Vamos verificar se
é bijetora:
- Injetora: Se
, então , o que implica que . Portanto, é injetora. - Sobrejetora: Para qualquer matriz triangular superior
com diagonal nula, existe uma matriz anti-simétrica tal que , onde para e .
Passo 8
Além disso,
preserva as operações vetoriais:
- Adição:
. - Multiplicação por escalar:
.
Resposta
Portanto, a função
definida por
, onde
para
e
caso contrário, estabelece um isomorfismo entre as matrizes anti-simétricas de ordem 4 e as matrizes triangulares superiores com diagonal nula de ordem 4.