Estabeleça um isomorfismo entre as matrizes anti-simétricas e as matrizes triangular superior com diagonal nula, ( ordem 4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para estabelecer um isomorfismo entre as matrizes anti-simétricas e as matrizes triangulares superiores com diagonal nula, ambas de ordem 4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes anti-simétricas, matrizes triangulares superiores com diagonal nula e o conceito de isomorfismo entre espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz A é anti-simétrica se ela satisfaz A^T = -A , onde A^T é a transposta de A . Isso significa que os elementos da diagonal principal devem ser zero, pois aii = -aii implica aii = 0 .

Passo 3

Agora, vamos olhar para as matrizes triangulares superiores com diagonal nula. Uma matriz triangular superior é aquela em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Quando a diagonal principal também é zero, temos uma matriz triangular superior com diagonal nula. Ou seja, para uma matriz B de ordem 4, temos bij = 0 para i > j e bii = 0 .

Passo 4

Para estabelecer um isomorfismo entre os dois conjuntos de matrizes, precisamos definir uma função phi que seja bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) e que preserve as operações de adição e multiplicação por escalar. Em outras palavras, queremos que phi(A + B) = phi(A) + phi(B) e phi(kA) = kphi(A) para quaisquer matrizes A, B anti-simétricas e escalar k .

Passo 5

Vamos definir a função phi de forma que ela estabeleça essa correspondência. Considerando que ambas as matrizes têm zeros na diagonal e que as matrizes anti-simétricas têm elementos abaixo da diagonal determinados pelos elementos acima (pois aij = -aji ), podemos mapear cada elemento livre da matriz anti-simétrica para a matriz triangular superior correspondente.

Passo 6

Mais especificamente, para cada matriz anti-simétrica A de ordem 4, definimos phi(A) = B , onde B é a matriz triangular superior com bij = aij para i < j e zeros na diagonal e abaixo. Isso garante que cada elemento acima da diagonal em A seja mapeado diretamente para B , e os elementos abaixo da diagonal em A não são necessários no mapeamento, já que B é triangular superior.

Passo 7

Vamos verificar se phi é bijetora:
  • Injetora: Se phi(A) = phi(A') , então B = B' , o que implica que A = A' . Portanto, phi é injetora.
  • Sobrejetora: Para qualquer matriz triangular superior B com diagonal nula, existe uma matriz anti-simétrica A tal que phi(A) = B , onde aij = bij para i < j e aji = -bij .

Passo 8

Além disso, phi preserva as operações vetoriais:
  • Adição: phi(A + A') = B + B' = phi(A) + phi(A') .
  • Multiplicação por escalar: phi(kA) = kB = kphi(A) .

Resposta

Portanto, a função phi definida por phi(A) = B , onde bij = aij para i < j e bij = 0 caso contrário, estabelece um isomorfismo entre as matrizes anti-simétricas de ordem 4 e as matrizes triangulares superiores com diagonal nula de ordem 4.

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