Suponha que uma transformação linear tenha uma representação matricial da forma , em relação às bases canônicas de P1(R) e P2(R). Qual é essa transformação linear?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma transformação linear T que vai de P1(R) para P2(R) . Ou seja, T pega polinômios de grau no máximo 1 e transforma em polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes representam transformações lineares e como usar as bases canônicas desses espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. Nesse caso, a matriz dada é:
[T]B^C = 1 & 0 0 & 1 0 & 0
Aqui, B é a base canônica de P1(R) , que é 1, x , e C é a base canônica de P2(R) , que é 1, x, x^2 .
Passo 3
Cada coluna dessa matriz representa a imagem dos vetores da base B pela transformação T , expressa na base C . Ou seja:
A primeira coluna 1 0 0 corresponde a T(1) .
A segunda coluna 0 1 0 corresponde a T(x) .
Então, podemos escrever:
T(1) = 1 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot x^2 = 1
T(x) = 0 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2 = x
Passo 4
Agora, como T é uma transformação linear, para qualquer polinômio p(x) = a + b x em P1(R) , a aplicação de T será:
T(a + b x) = a cdot T(1) + b cdot T(x) = a cdot 1 + b cdot x = a + b x
Resposta
A transformação linear T é definida por T(a + b x) = a + b x .