Calcule os autovalores e autovetores de
A=[rrr -1 & 4 & -2 -3 & 4 & 0 -3 & 1 & 3 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = -1 & 4 & -2 -3 & 4 & 0 -3 & 1 & 3
O conteúdo principal é calcular o polinômio característico det(A-lambda I), achar suas raízes lambda e depois, para cada raiz, resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos montar o determinante
det(A-lambda I) = -1-lambda & 4 & -2 -3 & 4-lambda & 0 -3 & 1 & 3-lambda
Expandindo por cofactores (ou qualquer método), chega-se a
det(A-lambda I)=-lambda^3+6lambda^2-11lambda+6
Multiplicando por -1 para facilitar a fatoração, obtemos
lambda^3-6lambda^2+11lambda-6=0

Passo 3

O polinômio lambda^3-6lambda^2+11lambda-6 tem raízes inteiras. Testando lambda=1 dá zero, logo
lambda^3-6lambda^2+11lambda-6=(lambda-1)(lambda^2-5lambda+6) =(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
Assim os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3

Passo 4

Agora, para cada lambdai, resolvemos (A-lambdai I)v=0.
Para lambda1=1:
A-I= -2 &4 &-2 -3 &3 &0 -3 &1 &2 ,
o sistema reduz a
y=x, z=x,
então um autovetor é v1=(1,1,1)^top.
Para lambda2=2:
A-2I= -3 &4 &-2 -3 &2 &0 -3 &1 &1 ,
do segundo pivô vem y=tfrac32x e daí z=tfrac32x. Tomando x=2 fica v2=(2,3,3)^top.
Para lambda3=3:
A-3I= -4 &4 &-2 -3 &1 &0 -3 &1 &0 ,
do segundo pivô vem y=3x e, da primeira equação, z=4x. Tomando x=1 fica v3=(1,3,4)^top.

Resposta

Os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3.
Autovetores associados:
para lambda1=1, v1=(1,1,1)^top;
para lambda2=2, v2=(2,3,3)^top;
para lambda3=3, v3=(1,3,4)^top.

Exercícios relacionados