Mostre que os vetores v1=(45, 35, 0), v2=(-35, 45, 0) e v3=(0,0,1) formam uma base ortonormal para R^3 com o produto interno usual. Em seguida, expresse o vetor v=(1,-1,2) nesta base.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
v1 = l(tfrac45,tfrac35,0r),
v2 = l(-tfrac35,tfrac45,0r) e
v3 = (0,0,1)
formam uma base ortonormal de R^3 com o produto interno usual, e depois expressar o vetor v=(1,-1,2) nessa base. Para isso vamos calcular normas e produtos internos para verificar ortonormalidade e, em seguida, usar o fato de que em base ortonormal as coordenadas são simplesmente produtos internos.

Passo 2

Verificamos as normas de cada vetor:
|v1| = raizl(tfrac45r)^2 + l(tfrac35r)^2 + 0^2 = 1
|v2| = raizl(-tfrac35r)^2 + l(tfrac45r)^2 + 0^2 = 1
|v3| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1

Passo 3

Agora conferimos que são mutuamente ortogonais:
lang<= v1,v2rang<= = 45cdotl(-tfrac35r) + 35cdot45 + 0cdot0 = 0
lang<= v1,v3rang<= = 45cdot0 + 35cdot0 + 0cdot1 = 0
lang<= v2,v3rang<= = l(-tfrac35r)cdot0 + 45cdot0 + 0cdot1 = 0

Passo 4

Como cada |vi|=1 e lang<= vi,vjrang<==0 para ineq j, o conjunto é ortonormal. São três vetores em R^3 e, portanto, formam uma base.

Passo 5

Em base ortonormal, as coordenadas de v=(1,-1,2) são
ci = lang<= v,,virang<=
Calculamos:
c1 = lang<= v,v1rang<= = 1cdot45 + (-1)cdot35 + 2cdot0 = 15
c2 = lang<= v,v2rang<= = 1cdotl(-tfrac35r) + (-1)cdot45 + 2cdot0 = -75
c3 = lang<= v,v3rang<= = 1cdot0 + (-1)cdot0 + 2cdot1 = 2
Logo,
v = c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = 15,v1 ;-;75,v2 ;+;2,v3

Resposta

v = 15,v1 - 75,v2 + 2,v3

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