Mostre que os vetores
e
formam uma base ortonormal para
com o produto interno usual. Em seguida, expresse o vetor
nesta base.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores
,
e
formam uma base ortonormal de com o produto interno usual, e depois expressar o vetor
nessa base. Para isso vamos calcular normas e produtos internos para verificar ortonormalidade e, em seguida, usar o fato de que em base ortonormal as coordenadas são simplesmente produtos internos.
formam uma base ortonormal de
Passo 2
Verificamos as normas de cada vetor:
Passo 3
Agora conferimos que são mutuamente ortogonais:
Passo 4
Como cada
e
para
, o conjunto é ortonormal. São três vetores em
e, portanto, formam uma base.
Passo 5
Em base ortonormal, as coordenadas de
são
Calculamos:
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