1. O espaço vetorial V é a soma direta de seus subespaços U e W, e denotado V=U oplus W, se todo V in V pode ser escrito, de modo único, como v=u+w, onde u in U e w in W. Isto é,
V=U oplus W Leftrightarrow V=U+W e U cap W=0
Sejam U=(a, b, c) mid a=b=c e W=(0, d, e) mid d, e in R. Mostre que R^3=U oplus W.

Passo 1

O enunciado pede para provar que R^3 é soma direta de U e W, ou seja
R^3 = U oplus W Long<=ftrightarrow R^3 = U + W e Ucap W=0,
onde
U=(a,b,c)mid a=b=c, W=(0,d,e)mid d,einR

Passo 2

Mostramos que Ucap W=0. Seja vin Ucap W. Então
vin Uimplies v=(a,a,a), vin Wimplies v=(0,d,e)
Igualando componentes vem
a=0, a=d, a=e ;Longrightarrow; a=d=e=0 ;Longrightarrow; v=(0,0,0)
Logo Ucap W=(0,0,0).

Passo 3

Mostramos que U+W=R^3. Seja (x,y,z)inR^3. Defina
u=(x,x,x)in U, w=(0,y-x,z-x)in W
Então
u+w=(x,x,x)+(0,y-x,z-x)=(x,y,z),
logo todo vetor de R^3 está em U+W.

Resposta

Como Ucap W=0 e U+W=R^3, concluímos que
R^3 = U oplus W

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