1. (IFB - Professor de Matemática - 2017) Sejam os vetores v1=(1,0,-1), v2=(2,1,3), v3=(4,2,6) e w = (3, 1, 2). Classifique as afirmações em (V) verdadeiro ou ( F ) falso, justificando sua resposta.
    ( ) w pertence ao subespaço gerado por v1, v2, v3.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores v1=(1,0,-1), v2=(2,1,3), v3=(4,2,6) e w=(3,1,2) e pede para verificar se w pertence ao subespaço gerado por v1,v2,v3. O conteúdo usado será o de combinação linear e resolução de sistema linear.

Passo 2

Para ver se winspanv1,v2,v3, buscamos escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = w
Isso dá o sistema de componentes
a + 2b + 4c = 3, 0a + 1b + 2c = 1, -,a + 3b + 6c = 2

Passo 3

Da segunda equação temos
b + 2c = 1 Longrightarrow b = 1 - 2c
Substituindo em a + 2b + 4c = 3 vem
a + 2(1 - 2c) + 4c = 3 Longrightarrow a + 2 = 3 Longrightarrow a = 1

Passo 4

Verificando na terceira equação:
-,a + 3b + 6c = -1 + 3(1 - 2c) + 6c = -1 + 3 -6c +6c = 2,
que é identidade 2=2. Logo não há contradição e há infinitas soluções ( c livre).

Passo 5

Como existem a,b,c que satisfazem o sistema, concluímos que w é combinação linear de v1,v2,v3, isto é, pertence ao subespaço gerado por eles.

Resposta

(V)

Exercícios relacionados