Seja W o espaço vetorial das matrizes simétricas
. Seja a transformação linear
por
Encontre a nulidade de
e mostre a base do seu núcleo. Além disso, utilize o teorema do posto para calcular o posto de
.
Passo 1
O espaço
das matrizes simétricas
tem dimensão
, pois uma matriz genérica é
com três parâmetros
. A transformação linear
está dada por
Queremos achar a nulidade de
(dimensão do núcleo), uma base do núcleo e, em seguida, usar o teorema do posto para obter o posto de
.
Passo 2
Para encontrar o núcleo, impomos
o que significa que o polinômio
é o polinômio nulo. Logo, seus coeficientes devem ser zero:
Passo 3
Do sistema acima vem
ou seja,
. Assim, as matrizes do núcleo são aquelas da forma
Portanto
e uma base do núcleo é
Passo 4
Pelo teorema do posto e nulidade,
de onde
Resposta
A nulidade de
T é
1 .
Uma base do núcleo é
Uma base do núcleo é
Pelo teorema do posto, o posto de
T é
2 .