Seja W o espaço vetorial das matrizes simétricas 2 times 2. Seja a transformação linear T: W P2 por
T[ll a & b b & c ]=(a-b)+(b-c) x+(c-a) x^2
Encontre a nulidade de T e mostre a base do seu núcleo. Além disso, utilize o teorema do posto para calcular o posto de T.

Passo 1

O espaço das matrizes simétricas tem dimensão , pois uma matriz genérica é
com três parâmetros . A transformação linear está dada por
Queremos achar a nulidade de (dimensão do núcleo), uma base do núcleo e, em seguida, usar o teorema do posto para obter o posto de .

Passo 2

Para encontrar o núcleo, impomos
o que significa que o polinômio
é o polinômio nulo. Logo, seus coeficientes devem ser zero:

Passo 3

Do sistema acima vem
ou seja, . Assim, as matrizes do núcleo são aquelas da forma
Portanto
e uma base do núcleo é

Passo 4

Pelo teorema do posto e nulidade,
de onde

Resposta

A nulidade de T é 1.
Uma base do núcleo é
1&11&1
Pelo teorema do posto, o posto de T é 2.

Exercícios relacionados