Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de V=Re^2 :
(cc3 & 0 8 & -1)

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear em R^2 representada pela matriz
A = 3 & 0 8 & -1
Queremos encontrar os autovalores e os autovetores de A. Para isso, vamos usar o polinômio característico
det(A - lambda I)=0
e em seguida resolver o sistema (A - lambda I)v = 0 para cada autovalor lambda.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
p(lambda) = det3-lambda & 0 8 & -1-lambda = (3-lambda)(-1-lambda) - 0 cdot 8 = lambda^2 - 2lambda - 3
Resolvendo
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
temos
lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo os autovalores são
lambda1 = 3 e lambda2 = -1.

Passo 3

Para lambda1 = 3 resolvemos (A - 3I)v = 0, ou seja
0 & 0 8 & -4 x y = 0 0
A segunda equação dá 8x - 4y = 0, isto é y = 2x. Escolhendo x = 1, um autovetor associado a lambda1 é
v1 = 1 2

Passo 4

Para lambda2 = -1 resolvemos (A + I)v = 0, ou seja
4 & 0 8 & 0 x y = 0 0
A primeira equação dá 4x = 0, logo x = 0 e y fica livre. Tomando y = 1, um autovetor associado a lambda2 é
v2 = 0 1

Resposta

Autovalores:
lambda1=3, lambda2=-1
Autovetores:
Para lambda1=3: múltiplos de 12
Para lambda2=-1: múltiplos de 01

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