Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
a) Um conjunto que consiste num único vetor é ;
b) Dado qualquer escalar , o conjunto de vetores é ;
c) Cada conjunto LD contém o vetor nulo;
d) Se o conjunto de vetores for LI, então, dado qualquer escalar não nulo , o conjunto também é LI;
e) Se forem vetores não nulos , então pelo menos um vetor é uma combinação linear única de ;
f) O conjunto das matrizes de ordem 2 que contém exatamente dois 1 e dois 0 é LI em ;
g) Os três polinômios , e são LI;
h) As funções e são LD se existirem um número real e escalares e tais que .
Passo 1
O enunciado pede para classificar afirmações sobre dependência linear (DL) e independência linear (IL). Lembrando que um conjunto de vetores é DL se existe combinação linear não trivial que resulte no vetor zero, isto é, existem escalares não todos nulos tais que . É IL se a única combinação linear que dá zero é a trivial, com todos .
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Um conjunto que consiste num único vetor é DL.” Se esse vetor for diferente de zero, a única combinação que zera é a trivial, logo o conjunto é IL. Se o vetor for o vetor nulo, o conjunto é DL. Como não é verdadeiro em todo caso, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Dado qualquer escalar , o conjunto é DL.” Observando que é múltiplo de , sempre existe combinação não trivial, por exemplo . Assim é sempre DL, então a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c): “Cada conjunto DL contém o vetor nulo.” Nem todo conjunto DL precisa conter o vetor zero, por exemplo é DL mas não contém . Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando (d): “Se for IL, então para todo escalar não nulo , também é IL.” Multiplicar vetores por escalar não nulo preserva combinações lineares e, portanto, preserva a independência. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando (e): “Se forem vetores não nulos DL, então pelo menos um é combinação linear única de .” Em todo conjunto dependente finito existe um índice mínimo tal que é DL; nesse caso é combinação linear de que são IL, garantindo unicidade da combinação. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisando (f): “O conjunto das matrizes de ordem 2 que contém exatamente dois 1 e dois 0 é IL em .” Existem matrizes desse tipo, mas . Qualquer conjunto com mais de 4 vetores em espaço de dimensão 4 é DL. Assim a afirmação é falsa.
Passo 8
Analisando (g): “Os polinômios
leva ao sistema
que implica (a=b=c=0]. Logo são IL e a afirmação é verdadeira.
Passo 9
Analisando (h): “As funções f1 e f2 são DL se existirem um número real x e escalares k1, k2 tais que k1f1(x)+k2f2(x)=0.” A definição exige que haja combinação não trivial anulando as funções para todo x, não apenas em um ponto. Como a condição dada é insuficiente, a afirmação é falsa.