Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
a) Um conjunto que consiste num único vetor é L D;
b) Dado qualquer escalar k, o conjunto de vetores V, k V é L D;
c) Cada conjunto LD contém o vetor nulo;
d) Se o conjunto de vetores V1, V2, V3 for LI, então, dado qualquer escalar não nulo k, o conjunto k V1, k V2, k V3 também é LI;
e) Se V1, ldots, Vn forem vetores não nulos L D, então pelo menos um vetor Vk é uma combinação linear única de v1, ldots, vk-1;
f) O conjunto das matrizes de ordem 2 que contém exatamente dois 1 e dois 0 é LI em M2;
g) Os três polinômios (x-1)(x+2), x(x+2), e x(x-1) são LI;
h) As funções f1 e f2 são LD se existirem um número real x e escalares k1 e k2 tais que k1 f1(x)+k2 f2(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar afirmações sobre dependência linear (DL) e independência linear (IL). Lembrando que um conjunto de vetores é DL se existe combinação linear não trivial que resulte no vetor zero, isto é, existem escalares alphai não todos nulos tais que sum alphai vi = 0. É IL se a única combinação linear que dá zero é a trivial, com todos alphai=0.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Um conjunto que consiste num único vetor é DL.” Se esse vetor for diferente de zero, a única combinação que zera é a trivial, logo o conjunto é IL. Se o vetor for o vetor nulo, o conjunto é DL. Como não é verdadeiro em todo caso, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Dado qualquer escalar ,k, o conjunto V,kV é DL.” Observando que kV é múltiplo de V, sempre existe combinação não trivial, por exemplo kcdot V -1cdot (kV)=0. Assim V,kV é sempre DL, então a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c): “Cada conjunto DL contém o vetor nulo.” Nem todo conjunto DL precisa conter o vetor zero, por exemplo (1,0),(0,1),(1,1)subset R^2 é DL mas não contém (0,0). Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando (d): “Se V1,V2,V3 for IL, então para todo escalar não nulo k, kV1,kV2,kV3 também é IL.” Multiplicar vetores por escalar não nulo preserva combinações lineares e, portanto, preserva a independência. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Analisando (e): “Se V1,dots,Vn forem vetores não nulos DL, então pelo menos um Vk é combinação linear única de V1,dots,Vk-1.” Em todo conjunto dependente finito existe um índice mínimo k tal que V1,dots,Vk é DL; nesse caso Vk é combinação linear de V1,dots,Vk-1 que são IL, garantindo unicidade da combinação. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisando (f): “O conjunto das matrizes de ordem 2 que contém exatamente dois 1 e dois 0 é IL em M2.” Existem binom42=6 matrizes desse tipo, mas dim M2=4. Qualquer conjunto com mais de 4 vetores em espaço de dimensão 4 é DL. Assim a afirmação é falsa.

Passo 8

Analisando (g): “Os polinômios
leva ao sistema
que implica (a=b=c=0]. Logo são IL e a afirmação é verdadeira.

Passo 9

Analisando (h): “As funções f1 e f2 são DL se existirem um número real x e escalares k1, k2 tais que k1f1(x)+k2f2(x)=0.” A definição exige que haja combinação não trivial anulando as funções para todo x, não apenas em um ponto. Como a condição dada é insuficiente, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(g) Verdadeiro
(h) Falso

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