Se , y e são números positivos tais que , qual é o conjunto de valores de ?
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de valores possíveis de quando e
Estamos, portanto, diante de um problema de análise do intervalo de variação da função objetivo
sob a restrição dada. Como não há limites superiores para , devemos investigar se pode ficar arbitrariamente pequeno (e qual seu ínfimo) e se pode crescer sem limite (e qual seu supremo).
Passo 2
Mostramos que o ínfimo de é . Basta apresentar uma família de pontos com e tal que . Por exemplo, seja e tome
Então
logo
e ao mesmo tempo
Portanto inf xyz = 0, mas como x,y,z>0 não se atinge exatamente zero.
Passo 3
Mostramos que o supremo de xyz é +infty. Por exemplo, escolha
x=y=z = t,
com t>0. A restrição impõe
xy + yz + zx = 3t^2 ;>=; 1 Longrightarrow t ;>=; 1raiz3
Nesse caso
xyz = t^3,
que cresce sem limite quando tto+infty. Logo sup xyz = +infty.
Passo 4
Juntando os resultados:
xyz pode ficar arbitrariamente próximo de 0, mas sem atingi-lo.