Se x, y e z são números positivos tais que x y+y z+z x >= 1, qual é o conjunto de valores de x y z?

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de valores possíveis de ,xyz quando x,y,z>0 e
xy + yz + zx ;>=; 1
Estamos, portanto, diante de um problema de análise do intervalo de variação da função objetivo
f(x,y,z)=xyz
sob a restrição dada. Como não há limites superiores para x,y,z, devemos investigar se xyz pode ficar arbitrariamente pequeno (e qual seu ínfimo) e se pode crescer sem limite (e qual seu supremo).

Passo 2

Mostramos que o ínfimo de xyz é 0. Basta apresentar uma família de pontos (x,y,z) com xy+yz+zx>=1 e tal que xyzto0. Por exemplo, seja varepsilon>0 e tome
x = varepsilon, y = 1varepsilon, z = varepsilon
Então
xy = varepsiloncdot1varepsilon = 1, yz = 1varepsiloncdotvarepsilon = 1, zx = varepsiloncdotvarepsilon = varepsilon^2,
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xy + yz + zx = 2 + varepsilon^2 ;>=; 1,
e ao mesmo tempo
xyz = varepsiloncdot1varepsiloncdotvarepsilon = varepsilon ;xrightarrow[varepsilonto0];0
Portanto inf xyz = 0, mas como x,y,z>0 não se atinge exatamente zero.

Passo 3

Mostramos que o supremo de xyz é +infty. Por exemplo, escolha
x=y=z = t,
com t>0. A restrição impõe
xy + yz + zx = 3t^2 ;>=; 1 Longrightarrow t ;>=; 1raiz3
Nesse caso
xyz = t^3,
que cresce sem limite quando tto+infty. Logo sup xyz = +infty.

Passo 4

Juntando os resultados:
  • xyz pode ficar arbitrariamente próximo de 0, mas sem atingi-lo.
  • xyz não tem limite superior e vai a +infty.

Resposta

xyz in (0,,+infty)

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