Se x, y e z são números positivos tais que x y+y z+z x <= 3, qual é o conjunto de valores de x y z?

Passo 1

O enunciado pede o intervalo possível de ,xyz quando x,y,z>0 satisfazem
xy+yz+zx<=3
O conteúdo usado será a desigualdade de AM–GM aplicada aos termos xy,,yz,,zx para achar o máximo de xyz e um argumento de construção de exemplos para mostrar que xyz pode ficar arbitrariamente próximo de zero.

Passo 2

Para achar o valor máximo de xyz, aplicamos AM–GM a xy,,yz,,zx:
xy+yz+zx3>=raiz[3],xycdot yzcdot zx, =raiz[3](xyz)^2
Como xy+yz+zx<=3, temos
raiz[3](xyz)^2<=1 Longrightarrow (xyz)^2<=1 Longrightarrow xyz<=1
A igualdade xyz=1 ocorre quando xy=yz=zx (caso x=y=z) e xy+yz+zx=3, ou seja, x=y=z=1.

Passo 3

Para ver que xyz pode ser arbitrariamente pequeno (tende a zero), basta escolher por exemplo
xto0^+, y=z=1,
que dá
xy+yz+zx=xcdot1+1cdot1+ xcdot1=2+x<=3
desde que 0<x<=1, e
xyz=xcdot1cdot1=xto0^+
Assim inf xyz=0, mas como x,y,z>0, o produto nunca chega exatamente a zero.

Resposta

O conjunto de valores de xyz é
(0,1]

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