Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado pede o intervalo possível de
quando
satisfazem
O conteúdo usado será a desigualdade de AM–GM aplicada aos termos
para achar o máximo de
e um argumento de construção de exemplos para mostrar que
pode ficar arbitrariamente próximo de zero.
Passo 2
Para achar o valor máximo de
, aplicamos AM–GM a
:
Como
, temos
A igualdade
ocorre quando
(caso
) e
, ou seja,
.
Passo 3
Para ver que
pode ser arbitrariamente pequeno (tende a zero), basta escolher por exemplo
que dá
desde que
, e
Assim
, mas como
, o produto nunca chega exatamente a zero.
Resposta
O conjunto de valores de
é