Calcule os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
A=\left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Isso envolve dois conceitos principais de Álgebra Linear: (1) encontrar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para obter os autovalores \lambda e (2) para cada \lambda, resolver (A - \lambda I)v=0 para achar o autovetor v\neq0.]

Passo 2

Vamos montar A - \lambda I e calcular seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -3-\lambda & 0 \\[4pt] 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}
\det(A - \lambda I) =(-3-\lambda)(2-\lambda) - 0\cdot1.]

Passo 3

Expandindo a expressão, o polinômio característico fica
(-3-\lambda)(2-\lambda) = -3\cdot2 +3\lambda -2\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 + \lambda -6.
Igualando a zero,
\lambda^2 + \lambda -6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (\lambda+3)(\lambda-2)=0,
logo os autovalores são \lambda_1 = -3 e \lambda_2 = 2.

Passo 4

Para \lambda_1 = -3, resolvemos
(A - (-3)I)v = (A + 3I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[4pt] 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem x + 5y = 0, ou seja x = -5y. Tomando y=1, um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}-5\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -5 & 0 \\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -5x=0, ou seja x=0. Não há restrição em y, então escolhendo y=1 obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são: \lambda_1 = -3, com autovetor v_1 = (-5,\,1)^\mathsf{T}. \lambda_2 = 2, com autovetor v_2 = (0,\,1)^\mathsf{T}.

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