Calcule os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
C=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 0\\\\ -1& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Conteúdo: definir autovalor \lambda como solução de \det(C-\lambda I)=0 e, para cada \lambda, resolver (C-\lambda I)v=0 para achar os autovetores.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
\det(C-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2-\lambda & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Repare que as linhas 1 e 3 só envolvem colunas 1 e 3, e as linhas 2 e 4 só envolvem colunas 2 e 4. Logo o determinante fatoriza em dois blocos triangulares:
\det(C-\lambda I)=(1-\lambda)^2\,(2-\lambda)^2.

Passo 3

As raízes são
\lambda_1 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = 2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Para \lambda=1, montamos
C - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -1& 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e resolvemos (C-I)v=0. As equações dão
x_1=0,\quad x_2=0,\quad x_4=0,
sem restrição sobre x_3. Assim os autovetores associados a \lambda=1 são da forma
v = t\,(0,0,1,0)^T,\quad t\neq0.

Passo 5

Para \lambda=2, montamos
C - 2I = \begin{pmatrix} -1& 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ -1& 0 & -1& 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e resolvemos (C-2I)v=0. As equações dão
x_1=0,\quad x_2=0,\quad x_3=0,
sem restrição sobre x_4. Logo os autovetores associados a \lambda=2 são da forma
v = s\,(0,0,0,1)^T,\quad s\neq0.

Resposta

Os autovalores são
\lambda=1\quad(\text{algébrica }2,\\ \text{geométrica }1), \quad \lambda=2\quad(\text{algébrica }2,\\ \text{geométrica }1).éééé
Um conjunto de autovetores é
\lambda=1:\; (0,0,1,0)^T, \qquad \lambda=2:\; (0,0,0,1)^T.

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