Calcule os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para isso vamos usar que os autovalores são as raízes do polinômio característico \det(B - \lambda I)=0 e, em seguida, resolver (B - \lambda I)v=0 para encontrar cada autovetor.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det(B - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 0\\\\ 1 & 2-\lambda & 0\\\\ -1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.
Como a terceira coluna só tem -\lambda na posição (3,3), expandimos pela terceira coluna:
\det(B - \lambda I) = -\lambda \,\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\\\\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Continuando,
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\\\\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) - 2\cdot 1 = (2 -3\lambda + \lambda^2) -2 = \lambda^2 -3\lambda.
Logo,
\det(B - \lambda I) = -\lambda(\lambda^2 -3\lambda) = \lambda^2(3-\lambda).

Passo 4

Do polinômio \lambda^2(3-\lambda)=0 obtemos os autovalores
\lambda_1 = 0\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = 3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 5

Para \lambda=0\) resolvemos \(Bv=0\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} x + 2y = 0,\\\ x + 2y = 0,\\\\ -\,x = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem x=0\]. Substituindo em \(x+2y=0 obtemos y=0. A coordenada z fica livre. Então os autovetores associados a \lambda=0 são
v = \begin{pmatrix}0\\\ 0\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad z\neq 0.

Passo 6

Para \lambda=3\) resolvemos \((B-3I)v=0\). Isso leva ao sistema \[\begin{cases} -2x + 2y = 0,\\\ x - y = 0,\\\\ -\,x - 3z = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem y=x\]. Da terceira vem \(-x -3z=0 x=-3z. Logo y=-3z. Assim os autovetores associados a \lambda=3 são
v = \begin{pmatrix}-3z\\\ -3z\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}, \quad z\neq 0.

Resposta

Os autovalores de B são \lambda=0 (multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 1) com autovetores proporcionais a \bigl(0,0,1\bigr),
e \lambda=3 (multiplicidade 1) com autovetores proporcionais a \bigl(-3,-3,1\bigr).

Exercícios relacionados